تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Nombres Complexes 2

Exercice 14

  1. Résoudre dans C\mathbb{C} les équations : z2=−4z^2 = -4 et z2=4z^2 = 4.
  2. Résoudre dans C\mathbb{C} les équations suivantes :
  • z2−z+1=0z^2 - z + 1 = 0
  • 2z2+z+3=02z^2 + z + 3 = 0
  • 3(z−i)2+2(z−i)+1=03(z-i)^2 + 2(z-i) + 1 = 0

1/

z2=4  ⟺  z=4 ou z=−4  ⟺  z=2 ou z=−2\begin{align*} z^2 = 4 &\iff z = \sqrt{4} \text{ ou } z = -\sqrt{4}\\ &\iff z=2 \text{ ou } z=-2 \end{align*}
z2=−4  ⟺  z2=4i2  ⟺  z2=(2i)2  ⟺  z=2i ou z=−2i\begin{align*} z^2 = -4 &\iff z^2 = 4i^2\\ &\iff z^2 = (2i)^2\\ &\iff z=2i \text{ ou } z=-2i \end{align*}

2/

∙\bullet\quad Pour z2−z+1=0z^2 - z + 1 = 0, on a :

a=1,b=−1,c=1a = 1, \quad b = -1, \quad c = 1
Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×1=−3\begin{align*} \Delta &= b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 1 \\ &= -3 \end{align*}

Comme Δ<0\Delta < 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

z1=1+i32,z2=1−i32z_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad z_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}

∙\bullet\quad Pour 2z2+z+3=02z^2 + z + 3 = 0, on a :

a=2,b=1,c=3a = 2, \quad b = 1, \quad c = 3
Δ=b2−4ac=12−4×2×3=−23\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 2 \times 3 = -23

Comme Δ<0\Delta < 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

z1=−1+i234,z2=−1−i234z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{23}}{4}, \quad z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{23}}{4}

∙\bullet\quad Pour 3(z−i)2+2(z−i)+1=03(z-i)^2 + 2(z-i) + 1 = 0 :

Posons w=z−iw = z - i, on obtient :

3w2+2w+1=03w^2 + 2w + 1 = 0
a=3,b=2,c=1a = 3, \quad b = 2, \quad c = 1
Δ=b2−4ac=22−4×3×1=−8\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times 1 = -8

Comme Δ<0\Delta < 0, ww admet deux solutions complexes conjuguées :

w1=−1+i23,w2=−1−i23w_1 = \frac{-1 + i\sqrt{2}}{3}, \quad w_2 = \frac{-1 - i\sqrt{2}}{3}

En revenant à zz :

z1=i+w1=2+i23,z2=i+w2=2−i23z_1 = i + w_1 = \frac{2 + i\sqrt{2}}{3}, \quad z_2 = i + w_2 = \frac{2 - i\sqrt{2}}{3}