Nombres Complexes 2

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

Exprimer $\cos(3x)$ en fonction de $\cos(x)$ , puis $\sin(3x)$ en fonction de $\sin(x)$ .

Correction

Rappel :

$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$

$(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$

Calculons $(\cos x + i \sin x)^3 = \cos(3x) + i \sin(3x)$ :

\begin{aligned} (\cos x + i \sin x)^3 &= \cos^3 x + i^3 \sin^3 x + 3i \cos x \sin x (\cos x + i \sin x) \\ &= \cos^3 x - i \sin^3 x + 3i \cos^2 x \sin x - 3 \cos x \sin^2 x \\ &= \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x + i (-\sin^3 x + 3 \cos^2 x \sin x) \end{aligned}

D’où :

\begin{cases} \cos(3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x \\ \sin(3x) = -\sin^3 x + 3 \cos^2 x \sin x \end{cases}

Or, on sait que $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ , donc :

\begin{cases} \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \\ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \end{cases}

Ainsi, on obtient :

\begin{cases} \cos(3x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x \\ \sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \end{cases}