تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Nombres Complexes 1

Exercice 3

Soient A et B et C trois points dont les affixes respectivement sont : zA=−1+i   ,   zB=2i    et    zC=2−2iz_A=-1+i~~~,~~~ z_B=2i ~~~ \text{ et } ~~~ z_C=2-2i

  1. Déterminer l’affixe de II milieu de [BC][BC]
  2. Les points AA, BB et CC sont ils alignés?
  3. Calculer ∣zA−zB∣|z_A-z_B| , ∣zA−zC∣|z_A-z_C| et ∣zC−zB∣|z_C-z_B| puis conculre.
  1. zI=zB+zC2=2i+2−2i2=1z_I=\dfrac{z_B+z_C}{2}=\dfrac{2i+2-2i}{2}=1
zB−zAzC−zA=2i+1−i2−2i+1−i=i+13−3i=(i+1)(3+3i)(3−3i)(3+3i)=3i−3+3+3i32−(3i)2=6i9+9=13i\begin{align*} \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}&=\dfrac{2i+1-i}{2-2i+1-i}\\ &=\dfrac{i+1}{3-3i}=\dfrac{(i+1)(3+3i)}{(3-3i)(3+3i)} \\&=\dfrac{3i-3+3+3i}{3^2-(3i)^2} \\&=\dfrac{6i}{9+9}=\dfrac13 i \end{align*}

Comme zB−zAzC−zA∉R\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\notin\R,alors les points AA, BB et CC ne sont pas alignés

∣zA−zB∣=∣−1+i−2i∣=∣−1−i∣=(−1)2+(−1)2=2\begin{align*} |z_A-z_B|&=|-1+i-2i|\\&=|-1-i|\\&=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\\&=\sqrt{2}\\ \end{align*}
∣zA−zC∣=∣−1+i−2+2i∣=∣−3+3i∣=(−3)2+(3)2=18\begin{align*} |z_A-z_C|&=|-1+i-2+2i|\\&=|-3+3i|\\&=\sqrt{(-3)^2+(3)^2}\\&=\sqrt{18} \end{align*}
∣zC−zB∣=∣2−2i−2i∣=∣2−4i∣=(2)2+(−4)2=20\begin{align*} |z_C-z_B|&=|2-2i-2i|\\&=|2-4i|\\&=\sqrt{(2)^2+(-4)^2}\\&=\sqrt{20} \end{align*}

Conclusion :

  • AB=∣zA−zB∣=2AB=|z_A-z_B|=\sqrt{2}
  • AC=∣zA−zC∣=18AC=|z_A-z_C|=\sqrt{18}
  • BC=∣zC−zB∣=20BC=|z_C-z_B|=\sqrt{20}

Donc AB2=2AB^2=2 et AC2=18AC^2=18 et BC2=20BC^2=20

Alors AB2+AC2=BC2AB^2+AC^2=BC^2

D’aprés la réciproque de Pythagore le triangle ABCABC est rectangle en AA