تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Nombres Complexes 1

Exercice 13

Soient les points A,B et C d’affixe respectivement : zA=2−2i3z_A=2-2i\sqrt3 ; zB=2+2i3z_B=2+2i\sqrt3 et zC=8z_C=8

  1. Écrire zAz_A , zBz_B et zCz_C sous forme trigonométrique
  2. Représenter AA,BB et CC dans le plan complexe
  3. On pose Z=zA−zCzB−zCZ=\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}
    1. Déterminer ∣Z∣|Z| et arg(Z)arg(Z)
    2. Déduire la nature du triangle ABCABC

1/

Soient les points A,B et C d’affixe respectivement : zA=2−2i3z_A=2-2i\sqrt3 ; zB=2+2i3z_B=2+2i\sqrt3 et zC=8z_C=8

Écrire zAz_A , zBz_B et zCz_C sous forme trigonométrique

Forme trigonométrique de zAz_A ?

∣zA∣=22+(−23)2=4|z_A|=\sqrt{2^2+(-2\sqrt3)^2}=4

zA=4(24−234i)=4(12−32)=4(cos⁡π3−sin⁡π3i)=4(cos⁡(−π3)+sin⁡(−π3)i)\begin{aligned} z_A&=4\left(\frac{2}{4}-\frac{2\sqrt3}{4}i\right) \\ &=4\left(\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}\right) \\ &=4\left(\cos\dfrac\pi3-\sin\dfrac\pi3i\right) \\ &=4\left(\cos\left(-\dfrac\pi3\right)+\sin\left(-\dfrac\pi3\right)i\right) \end{aligned}

Forme trigonométrique de zBz_B ?

On calcule le module :

∣zB∣=22+(23)2=4+12=16=4|z_B| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4

On a :

zB=4(24+234i)=4(12+32i)=4(cos⁡π3+isin⁡π3)\begin{aligned} z_B &= 4\left(\frac{2}{4} + \frac{2\sqrt{3}}{4}i\right) \\ &= 4\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \\ &= 4\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}

Forme trigonométrique de zCz_C

On a zC=8z_C = 8 est un réel strictement positif.

Son module est : ∣zC∣=8|z_C| = 8

et son argument est :arg⁡(zC)=0\arg(z_C) = 0

donc :zC=8(cos⁡0+isin⁡0)z_C = 8(\cos 0 + i\sin 0)

2/

ABC282√3-2√3O⃗u⃗v

3/ Z=zA−zCzB−zC\quad Z=\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}

a/ ∣Z∣|Z| et arg⁡(Z)\arg(Z)

on cherche forme trigonométrique de ZZ

Z=zA−zCzB−zC=−6−2i3−6+2i3=3+i33−i3=(3+i3)2(3−i3)(3+i3)=9+6i3−312=12+i32=cos⁡π3+isin⁡π3\begin{align*} Z &= \dfrac{z_A - z_C}{z_B - z_C} = \dfrac{-6 - 2i\sqrt{3}}{-6 + 2i\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{3 + i\sqrt{3}}{3 - i\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{(3 + i\sqrt{3})^2}{(3 - i\sqrt{3})(3 + i\sqrt{3})} \\ &= \dfrac{9 + 6i\sqrt{3} - 3}{12} \\ &= \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3 \end{align*}

et donc arg⁡(Z)=π3\arg(Z)=\dfrac\pi3 et ∣Z∣=1|Z|=1

b/ nature du triangle ABCABC

On a trouvé que :

  • ∣Z∣=1|Z| = 1, donc ∣zA−zC∣=∣zB−zC∣|z_A-z_C|=|z_B-z_C| et donc CA=CBCA = CB : le triangle ABCABC est isocèle en CC.
  • arg⁡(Z)=π3\arg(Z) = \dfrac{\pi}{3}, donc l’angle orienté l’angle orienté entre CB→\overrightarrow{CB} et CA→\overrightarrow{CA} est π3\dfrac{\pi}{3} radians, c’est-à-dire 60°.

Par conséquent, le triangle ABCABC est équilatéral.