$A(a)$ , $B(b)$ , $C(c)$ et $D(d)$ avec : $a=7+2i$ , $b=4+8i$ , $c=-2+5i$ et $d=10+11i$

1/

$\begin{aligned} \dfrac{d-c}{b-c}&=\dfrac{10+11i-(-2+5i)}{4+8i-(-2+5i)}\\ &=\dfrac{12+6i}{6+3i}=\dfrac{6(2+i)}{3(2+i)}=2 \end{aligned}$

Comme $\dfrac{d-c}{b-c}=2\in\R$ , alors les points $B$ , $C$ et $D$ sont alignés.

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2/a/

$\begin{aligned} (1+i)(-3+6i)&=-3+6i-3i+6i^2\\&=-3+3i-6\\ &=-9+3i \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dfrac{c-a}{b-a}&=\dfrac{-2+5i-(7+2i)}{4+8i-(7+2i)}\\ &=\dfrac{-9+3i}{-3+6i}\\ &=\dfrac{(1+i)(-3+6i)}{-3+6i}\\ &=1+i \end{aligned}$

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b/ Forme trigo de $1+i$

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\begin{aligned} 1+i&=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ &=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\&=\sqrt{2}\left(\cos(\dfrac{\pi}{4})+i\sin(\dfrac{\pi}{4})\right) \end{aligned}$

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c/

On a : $\dfrac{c-a}{b-a}=1+i$

$\implies |\dfrac{c-a}{b-a}|=|1+i|=\sqrt{2}$

$\implies \dfrac{AC}{AB}=\sqrt{2}$ ,

et donc $AC=AB\sqrt{2}$

• On a :

$\arg(\dfrac{c-a}{b-a})=\arg(1+i) \equiv \dfrac{\pi}{4} ~~[2\pi]$

Comme $(\overline{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}) \equiv \arg(\dfrac{c-a}{b-a}) ~~[2\pi]$

Alors :$\dfrac\pi4$ est une meseure de l’angle orienté $(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}})$