تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Limite d'une fonction numérique

Exercice 7

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :

{f(x)=x+1−1x;  x>0f(x)=x+12 ;  x≤0\left\{ \begin{array}{ll} f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} &; ~~ x>0 \\ f\left(x\right)=x+\frac{1}{2}\ & ; ~~x\le0 \end{array} \right.
  1. Calculer : f(0)  , f(−2)  et  f(3)f\left(0\right)\ \ ,\ f\left(-2\right)\ \ et~\ f(3)
  2. Calculer lim⁡x→−∞f(x)  etlim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}{f(x)} \ \ et \lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{f(x)}
  3. calculer lim⁡x→0+f(x)\lim\limits_{x\rightarrow0^+}{f(x)} et lim⁡x→0−f(x)\lim\limits_{x\rightarrow0^-}{f(x)}
  4. Est-ce que ff admet une limite en 00 ? justifie ta réponse.
  5. La fonction g:x↦∣x−1∣x−1g:x\mapsto\dfrac{|x-1|}{x-1} admet-elle une limite en 11?
1. Calculer f(0)f(0), f(−2)f(-2) et f(3)f(3)
  • Pour x=0x = 0 et x=−2x=-2 : Puisque 0≤00 \leq 0 et −2≤0-2 \leq 0, on utilise la seconde expression de f(x)f(x):
f(0)=0+12=12f(0) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
f(−2)=−2+12=−32f(-2) = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}
  • Pour x=3x = 3 : Puisque 3>03 > 0, on utilise la première expression de f(x)f(x):
f(3)=3+1−13=4−13=2−13=13\begin{align*} f(3) &= \frac{\sqrt{3+1} - 1}{3} \\ &= \frac{\sqrt{4} - 1}{3} = \frac{2 - 1}{3}\\ & = \frac{1}{3} \end{align*}
2. Calculer lim⁡x→−∞f(x)\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) et lim⁡x→+∞f(x)\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)
  • Pour x→−∞x \to -\infty : Pour les x≤0x \leq 0, f(x)=x+12f(x) = x + \frac{1}{2}. Donc :
lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞(x+12)=−∞\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} \left(x + \frac{1}{2}\right) = -\infty
  • Pour x→+∞x \to +\infty : Pour les x>0x > 0, f(x)=x+1−1xf(x) = \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}. On effectue une simplification en multipliant par l’expression conjuguée :
f(x)=x+1−1x×x+1+1x+1+1=x+12−12x(x+1+1)=xx(x+1+1)=1x+1+1\begin{align*} f(x) &= \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \times \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} \\ &= \frac{\sqrt{x+1}^2 - 1^2}{x(\sqrt{x+1} + 1)} \\ &= \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)}\\ &= \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \end{align*}

À la limite, lorsque x→+∞x \to +\infty, x+1\sqrt{x+1} devient très grand, donc :

lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞1x+1+1=0\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = 0
3. Calculer lim⁡x→0+f(x)\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) et lim⁡x→0−f(x)\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)
lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+x+1−1x=lim⁡x→0+1x+1+1=12\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) &= \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}\\ &=\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}
lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−(x+12)=0+12=12\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} \left(x + \frac{1}{2}\right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
4. Est-ce que ff admet une limite en 00 ?

Oui, ff admet une limite en 00. En effet :

lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0−f(x)=12\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{2}

La limite de f(x)f(x) en 00 est donc 12\frac{1}{2}.

5. La fonction g:x↦∣x−1∣x−1g:x\mapsto\dfrac{|x-1|}{x-1} admet-elle une limite en 11 ?
  • Pour x→1+x \to 1^+ : Lorsque x>1x > 1, ∣x−1∣=x−1|x-1| = x-1, donc :
g(x)=x−1x−1=1g(x) = \frac{x-1}{x-1} = 1
  • Pour x→1−x \to 1^- : Lorsque x<1x < 1, ∣x−1∣=−(x−1)|x-1| = -(x-1), donc :
g(x)=−(x−1)x−1=−1g(x) = \frac{-(x-1)}{x-1} = -1

Les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, donc g(x)g(x) n’admet pas de limite en x=1x = 1.