1/

Calcul de la limite sans utilisation de la propriété :

Car :

2/

Calculons $\lim\limits_{x\to2}\sqrt{3x+4}$

On a : $\lim\limits_{x\to2} {3x+4}=3\times2+4=10$,

Donc $\lim\limits_{x\to2}\sqrt{3x+4}=\sqrt{10}$

3/

Calculons $\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{-3x^3+4x^2+1}$

On a : $\lim\limits_{x\to-\infty}{-3x^3+4x^2+1}=\lim\limits_{x\to-\infty}{-3x^3}=+\infty$,

Donc $\lim\limits_{x\to-\infty}\sqrt{-3x^3+4x^2+1}=+\infty$

4/

Calculons $\lim\limits_{x\to0^-} \sqrt{2-\frac{1}{x}}$

On a : $\lim\limits_{x\to0^-}{2-\frac{1}{x}}=+\infty$,

Donc $\lim\limits_{x\to0^-} \sqrt{2-\frac{1}{x}}=+\infty$

5/

• $\lim\limits_{x\to\pi}\cos(x)=\cos(\pi)=-1$
• $\lim\limits_{x\to 0}\sin(x)=\sin(0)=0$
• $\lim\limits_{x\to \frac\pi4}\tan(x)=\tan\frac\pi4=1$
• $\lim\limits_{x\to \frac{5\pi}{2}}\tan(x)=+\infty$

On utilise un changement de variable :

On a : $\frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac\pi2$, Posons $t=x-2\pi$,

donc si $x\to \frac{5\pi}{2}$ alors : $t\to\frac\pi2$

et donc :

6/

• Pour calculer : $\lim\limits_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{sin(x-\frac{\pi}{3})}{3x-\pi}$

On pose $X=x-\frac{\pi}{3}$

alors $3X=3x-\pi$ et quand x tend vers $\frac{\pi}{3}$ on a $X$ tend vers $0$