1/

$\lim\limits_{x\to 1} \frac{2+cos(x)}{(x-1)^2}$

Soit $x\in \R -{1}$ on a $-1\le cos(x) \le 1$

Donc $1\le 2+cos(x) \le 3$

On a : $(x-1)^2 > 0$

Donc : $\frac{1}{(x-1)^2}\le \frac{2+cos(x)}{(x-1)^2}$

puisque : $\lim\limits_{x\to 1} (x-1)^2=0^+$ alors $\lim\limits_{x\to 1} \frac{1}{(x-1)^2}=+\infty$

Donc : $\lim\limits_{x\to 1} \frac{2+cos(x)}{(x-1)^2}=+\infty$

---

2/

$\lim\limits_{x\to -\infty} x-cos(x)$

Soit $x\in\R$ on a : $-1\le cos(x)$

Donc $-cos(x)\le 1$ ce qui implique $x-cos(x)\le x+1$

Comme $\lim\limits_{x\to -\infty} x+1=-\infty$ alors : $\lim\limits_{x\to -\infty} x-cos(x)=-\infty$

---

3/

$f(x)=1+\frac{sin(x)}{x^2}$ avec $x\in\R^*$

3/a Montrons que : $\forall x\in\R^* : |f(x)-1| \le \frac{1}{x^2}$

soit $x\in\R$

On a : $f(x)-1=\frac{sin(x)}{x^2}$

On sait que $\forall x\in\R : |sin(x)| \le 1 \Rightarrow \forall x\in\R^* : |\frac{sin(x)}{x^2}| \le \frac{1}{x^2}$

Alors : $\ \ \ \ \ \forall x\in\R^* : |f(x)-1| \le \frac{1}{x^2}$

3/b déduire les deux limites : $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$

On a $\ \ \ \ \ \forall x\in\R^* : |f(x)-1| \le \frac{1}{x^2}$

Comme $\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{1}{x^2}=0$ alors $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=1$

De méme : $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1$

---

4/

Calcule de la limite $\lim\limits_{x\to 0} x^2sin(\frac{1}{x})$

Soit $x\in\R^*$ on a $x^2 \ge 0$

On a ~~ $-1 \le sin(\frac{1}{x})\le 1$ donc : $-x^2\le x^2sin(\frac{1}{x})\le x^2$

puisque $\lim\limits_{x\to 0} x^2=0 \ \ et \ \ \lim\limits_{x\to 0} (-x^2)=0$

Alors : $\lim\limits_{x\to 0} x^2sin(\frac{1}{x})=0$