📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9Exercice 10

Exercice 6

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

Étudier la monotonie de la fonction ff en utilisant la propriété de la composée de deux fonctions.

On peut décomposer la fonction hh de la facon suivante :

uvxx2+1x2+1v±u

avec : ∀x≥0 ; v(x)=x\forall x\ge0~;~v(x)=\sqrt{x} et ∀x∈R ; u(x)=x2+1\forall x\in\R~;~u(x)=x^2+1

(v∘u)(x)=v(u(x))=u(x)=x2+1=f(x)(v\circ u)(x)=v(u(x))=\sqrt{u(x)}=\sqrt{x^2+1}=f(x)

Soit x∈Rx\in\R on a : x2+1>0x^2+1>0 donc f(R)⊂R+f(\R) \subset \R^+

  • Sur l'intervalle [0;+∞[[0;+\infty[

    La fonction uu est strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[

    et la fonction vv est strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[

    donc la fonction f=v∘uf=v\circ u est strictement croissante sur [0;∞[[0;\infty[

  • Sur l'intervalle ]−∞,0]]-\infty,0]

    la fonction uu est strictement décroissante sur ]−∞,0]]-\infty,0]

    et la fonction vv est strictement croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[

    donc la fonction f=v∘uf=v\circ u est strictement décroissante sur ]−∞,0]]-\infty,0]