📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9Exercice 10

Exercice 5

Soit ff et gg deux fonctions définies par : f(x)=1xf(x)=\dfrac1x et g(x)=2x+1x−2g(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}

  1. Déterminer Dg∘fD_{g\circ f} l'enesemble de définition de la fonction g∘fg \circ f
  2. Déterminer g∘f(x)g\circ f (x) pour tout x∈Dg∘fx\in D_{g\circ f}
  1. Df=R∗D_f=\R^* et Dg=R−{2}D_g=\R-\left\{2\right\}

Soit x∈Rx\in\R

x∈Dg∘f  ⟺  x∈Df  et  f(x)∈Dg  ⟺  x≠0  et  f(x)≠2 \begin{align*} x\in D_{g\circ f} &\iff x\in D_f~~\text{et}~~f(x)\in D_g \\ &\iff x\ne0 ~~\text{et}~~ f(x)\ne2 \end{align*}

or :

f(x)=2  ⟺  1x=2  ⟺  x=12\begin{align*} f(x)=2 &\iff \frac{1}{x}=2 \\ &\iff x=\frac{1}{2} \end{align*} x∈Dg∘f  ⟺  x≠0  et  x≠12x\in D_{g\circ f} \iff x\ne0 ~~et~~ x\ne\frac{1}{2} Dg∘f=R−{0,12}D_{g\circ f}=\R-\left\{0,\frac12\right\}
  1. Soit x∈Dg∘fx\in D_{g\circ f} on a :
(g∘f)(x)=g(f(x))=2f(x)+1f(x)−2=21x+11x−2=x+21−2x\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x)) \\ &= \frac{2f(x)+1}{f(x)-2} \\ &= \frac{2\frac1x +1}{\frac1x -2} \\ &= \frac{x +2}{1-2x} \end{align*}

Donc

(∀x∈R−{0,12}) ; (g∘f)(x)=x+21−2x\left(\forall x\in\R- \left\{0,\frac12\right\}\right)~;~(g\circ f)(x)=\dfrac{x +2}{1-2x}