il est claire que les deux fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $\R$ car : $\forall x\in\R ~;~x^2+1\ne0$

1. Soit $x\in\R$ on a : $f(x)-g(x)=\dfrac{x^3-x^2}{x^2+1}=\dfrac{x^2(x-1)}{x^2+1}$ or $\forall x\in\R~;~\dfrac{x^2}{x^2+1}\ge0$

$$f(x)-g(x)=0 \iff x^2(x-1) \iff x=0 ~ou~x=1$$

• les courbes $(C_f)$ et $(C_g)$ se coupent en deux points $O(0,0)$ et $A(1,\frac12)$
• Si $x>1$ alors $f(x)-g(x) > 0$ et donc $\forall x>1 ~;~f(x)> g(x)$

graphiquement : La courbe $(C_f)$ est située au dessus de la courbe $(C_g)$ sur l'intervalle $]1;+\infty[$

• Si $x<1$ alors $f(x)-g(x) < 0$ et donc $\forall x<1 ~;~f(x)<g(x)$

graphiquement : La courbe $(C_f)$ est située en dessous de la courbe $(C_g)$ sur l'intervalle $]-\infty;1[$ 2. étudions la position relative de $(C_f)$ et $(\Delta)$

Soit $x\in\R$ on a : $f(x)-(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}-x=\dfrac{x^3-x^3-x}{x^2+1}=\dfrac{-x}{x^2+1}$

$$f(x)-(x)=0 \iff -x=0 \iff x=0$$

or $\forall x\in\R~;~x^2+1>0$ donc :

• la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ se coupent en un point $O(0,0)$.
• Si $x<0$ alors $f(x)-(x) > 0$ et donc $\forall x<0 ~;~f(x) > x$

graphiquement : La courbe $(C_f)$ est située au dessus de la droite $(\Delta)$ sur l'intervalle $]-\infty;0[$

• Si $x>0$ alors $f(x)-(x) < 0$ et donc $\forall x>0 ~;~f(x)<x$

graphiquement : La courbe $(C_f)$ est située en dessous de la droite $(\Delta)$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$

On a tracé ce graphe par un ordinateur :