📝 Exercices de la série▼
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Exercice 2

Soit ff la fonction définie par : f(x)=x−3x+1f(x)=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt x +1}

  1. Déterminer DfD_f l'ensemble de définition de ff
  2. Montrer que ff est majorée par 1 et minorée par −3-3

  1. Df={x∈R ; x≥0 et x+1≠0}D_f=\left\{x\in\R~;~x\ge0 ~et~\sqrt{x}+1\ne0\right\}

    Si x+1=0\sqrt{x}+1=0 alors x=−1\sqrt x=-1 absurde

    Alors : Df=[0;+∞[D_f=[0;+\infty[

  2. Montrons que ff est majorée par 1

    Soit x∈[0;+∞[x\in[0;+\infty[ :

    on a

    f(x)−1=x−3x+1−1=x−3−x−1x+1=−4x+1<0   car x+1>0\begin{align*} f(x)-1 &=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt x +1}-1 \\ &=\dfrac{\sqrt{x}-3-\sqrt x -1}{\sqrt x +1} \\ &=\dfrac{-4}{\sqrt x +1} < 0 ~~\text{ car } \sqrt x +1 > 0 \end{align*}

    Donc :

    (∀x≥0) : f(x)−1<0  ⟹  (∀x≥0) : f(x)<1\begin{align*} &(\forall x\ge0)~:~f(x)-1<0 \\ &\implies (\forall x\ge0)~:~f(x)<1 \end{align*}

    et par suite : ff est majorée par 1

  3. Montrons que ff est minorée par −3-3

    Soit x∈[0;+∞[x\in[0;+\infty[ :

    on a

    f(x)−(−3)=x−3x+1+3=x−3+3x+3x+1=3xx+1≥0\begin{align*} f(x)-(-3) &=\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt x +1}+3 \\ &=\dfrac{\sqrt{x}-3+3\sqrt x +3}{\sqrt x +1} \\ &=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt x +1} \ge 0 \end{align*}

    Donc :

    (∀x≥0) : f(x)+3≥0(\forall x\ge0)~:~f(x)+3\ge0 (∀x≥0) : f(x)≥−3(\forall x\ge0)~:~f(x)\ge-3

    et par suite : ff est minorée par −3-3

  4. puisque ff et majorée et minoeée, alors ff est bornée et on a :

    (∀x≥0) ; −3≤f(x)≤1(\forall x\ge0)~;~-3\le f(x)\le1