تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Notions en logique

Exercice 9

  1. Montrer que pour tout n∈Nn\in \N, 2n>n2^n > n.
  2. Montrons que : ∀n∈N ; 9n−1\forall n\in\N~;~9^n-1 est divisible par 8

  1. Pour n≥0n\ge 0, notons P(n)P(n) l’assertion suivante : 2n>n.2^n > n.

    Nous allons démontrer par récurrence que P(n)P(n) est vraie pour tout n≥0n\ge 0.

    • Initialisation: Pour n=0n=0 nous avons 20=1>02^0=1>0. Donc P(0)P(0) est vraie.

    Hérédité: Fixons n≥0n\ge 0. Supposons que P(n)P(n) soit vraie. Nous allons montrer que P(n+1)P(n+1) est vraie.

    2n+1=2n.21=2.2n=2n+2n>n+2n   car par P(n) nous savons 2n>n>n+1 car 2n≥1.\begin{align*} 2^{n+1} &= 2^n.2^1\\ &=2.2^n=2^n+2^n \\ &> n + 2^n ~~ \text{ car par } P(n) \text{ nous savons } 2^n > n\\ &> n + 1 \qquad \text{ car } 2^n \ge 1. \end{align*}

    Donc P(n+1)P(n+1) est vraie.

    Conclusion: Par le principe de récurrence P(n)P(n) est vraie pour tout n≥0n\ge 0, c’est-à-dire 2n>n2^n > n pour tout n≥0n\ge 0.

  2. Principe de récurrence

  • Initialisation: pour n=0n=0

    90−1=09^0-1=0 et 00 est un multiple de 8

    et donc la proposition est vraie pour n=0n=0

  • Héridité: soit n∈Nn\in\N supposons que 9n−19^n-1 est un multiple de 8 et montrons que : 9n+1−19^{n+1}-1 est un multiple de 8

    on a 9n−19^n-1 est un multiple de 8 donc :

    ∃k∈N\exists k\in\N tel que 9n−1=8k9^n-1=8k

    signifie que : 9×9n−9=9×8k9\times9^n-9=9\times8k

    signifie que : 9n+1=9×8k+99^{n+1}=9\times8k+9

    signifie que : 9n+1=9×8k+99^{n+1}=9\times8k+9

    signifie que : 9n+1−1=9×8k+89^{n+1}-1=9\times8k+8

    signifie que : 9n+1−1=8(9k+1)=8K9^{n+1}-1=8(9k+1)=8K

    avec K=9k+1K=9k+1

    et donc 9n+1−19^{n+1}-1 est un multiple de 8

  • Conclusion: ∀n∈N ; 9n−1\forall n\in\N~;~9^n-1 est divisible par 8