1. Nous raisonnons par l’absurde en supposant que $\frac{a}{1+b}=\frac{b}{1+a}$ et $a \neq b$.

   Comme $\frac{a}{1+b}=\frac{b}{1+a}$ alors $a(1+a)=b(1+b)$

   $$\begin{align*} &a(1+a)=b(1+b) \\ &~~\iff a+a^2=b+b^2\\ &~~\iff a^2-b^2 + a-b =0 \\ &~~\iff (a-b)(a+b)+(a-b)=0 \\ &~~\iff (a-b)(a+b+1)=0 \\ &~~\iff a-b=0 \text{ ou } a+b=-1 \end{align*}$$

   Comme $a\neq b$ alors $a-b\neq 0$ et donc on obtient $a+b=-1$.

   La somme des deux nombres positifs $a$ et $b$ ne peut être négative.

   Nous obtenons une contradiction.

   Conclusion : si $\frac{a}{1+b}=\frac{b}{1+a}$ alors $a=b$.

2. Montrer que $\sqrt2 \notin\mathbb{Q}$

Supposons que : $\sqrt2 \in\mathbb{Q}$

Donc $\exists m\in\N$ et $\exists n\in\N^*$ tel que :

on a :

Donc $m^2$ est pair et par suite $m$ est pair (Voir le cours)

Donc $\exists p\in\N$ tel que : $m=2p$

d’après $(*)$ :

$(2p)^2=2n^2 \implies 4p^2=2n^2 \implies n^2=2p^2$

Donc $n^2$ est pair et par suite $n$ est pair

Conclusion :

$m$ et $n$ sont pairs donc $\bf pgcd(m,n)\ge2$ absurde

car $\bf pgcd(m,n)=1$

et donc : $\sqrt2 \notin\mathbb{Q}$

3. $n \in\N^*$. Montrer que $\sqrt{n^2+1}$ n’est pas un entier.

Supposons que $\sqrt{n^2+1}$ est un entier, donc

donc : $n^2+1=k^2$

signfie que : $k^2-n^2=1$

signfie que : $(k-n)(k+n)=1$

signfie que :

signfie que :

En remplacant dans $(*)$ : $n+1+n=1 \implies n=0$ abusrde car $n\ne0$

$(\forall n\in\N^*)~~:~~~\sqrt{n^2+1}$ n’est pas un entier.