Notions en logique | نون الرياضيات

تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Notions en logique

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Exercice 6

(Contraposée)

Soit $n \in \N$ . Montrer que si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
Soient $x,y\in\R$ Montrer que ” $(x\ne1~et~y\ne1 \implies 1+xy\ne x+y)$ ”
soient a, b et c des nombres réel, montrer que :

a+b\ge c \implies a\ge \frac c2 ~ou~ b\ge \frac c2

Correction

Nous supposons que $n$ n’est pas pair. Nous voulons montrer qu’alors $n^2$ n’est pas pair.

Comme $n$ n’est pas pair, il est impair et donc il existe $k\in \N$ tel que $n=2k+1$ .

Alors $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\ell+1$ avec $\ell = 2k^2+2k \in \N$ .

Et donc $n^2$ est impair.

Conclusion : nous avons montré que si $n$ est impair alors $n^2$ est impair. Par contraposition ceci est équivalent à : si $n^2$ est pair alors $n$ est pair.
En utilisant le principe du contraposée :
$(p \implies q) \iff (\bar{q} \implies \bar{p})$
avec :
$p:"x\ne1~et~y\ne1"~~ et ~~q~:~"1+xy\ne x+y"$
on a :
$\begin{align*} \bar{q}&\implies 1+xy = x+y \\ &\implies 1+xy-x-y=0 \\ &\implies x(y-1)-(y-1)=0 \\ &\implies (y-1)(x-1)=0 \\ &\implies y-1=0~ou~x-1=0 \\ &\implies y=1~ou~x=1 \\ &\implies \bar{p} \end{align*}$
Alors :
$"(x\ne1~et~y\ne1 \implies 1+xy\ne x+y)"$
Soient a, b et c des nombres réel, montrer que : $a+b\ge c \implies a\ge \frac c2 ~ou~ b\ge \frac c2$

De la m $\hat{e}$ me manière :
$\begin{align*} a< \frac c2 ~et~ b< \frac c2 &\implies a+b < \frac c2+\frac c2 \\ & \implies a+b <2\frac c2 \\ & \implies a+b <c \end{align*}$
Alors :
$a+b\ge c \implies a\ge \frac c2 ~ou~ b\ge \frac c2$