تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Notions en logique

Exercice 8

Montrer que :

∀(x,y)∈R2 : 2x2+xy+y2≥∣x−y∣\forall(x,y)\in\R^2~:~2\sqrt{x^2+xy+y^2} \ge |x-y|

Soit x,y∈Rx,y\in\R on a :

2x2+xy+y2≥∣x−y∣  ⟺  (2x2+xy+y2)2≥∣x−y∣2  ⟺  4(x2+xy+y2)≥x2−2xy+y2  ⟺  3x2+3y2+6xy≥0  ⟺  x2+2xy+y2≥0  ⟺  (x+y)2≥0 \begin{align*} &2\sqrt{x^2+xy+y^2} \ge |x-y| \\ & \iff \left(2\sqrt{x^2+xy+y^2}\right)^2 \ge |x-y|^2 \\ & \iff 4(x^2+xy+y^2) \ge x^2-2xy+y^2 \\ & \iff 3x^2+3y^2+6xy \ge 0 \\ & \iff x^2+2xy+y^2 \ge 0 \\ & \iff (x+y)^2 \ge 0 \\ \end{align*}

On sait que (x+y)2≥0(x+y)^2 \ge 0 (vraie)

Donc : ∀(x,y)∈R2 : 2x2+xy+y2≥∣x−y∣\forall(x,y)\in\R^2~:~2\sqrt{x^2+xy+y^2} \ge |x-y|