تمارين - 1BACSEF

الأولى باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Notions en logique

Exercice 10

  1. Montrer que pour tout n≥1n \ge 1, on a :
1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+ \cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}
  1. Fixons un réel x≥0x\ge0. Montrer que pour tout entier n≥1n \ge 1, on a :
(1+x)n≥1+nx(1+x)^n \ge 1+nx
    • Initialisation: pour n=1n=1
    1(1+1)2=1\frac{1(1+1)}{2}=1

    et donc la proposition est vraie pour n=1n=1

    • Héridité: soit n∈N∗n\in\N^* supposons que
    1+2+3+...+n=n(n+1)21+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

    et montrons que

    1+2+4+...+(n+1)=(n+1)(n+2)21+2+4+...+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}

    On a

         1+2+3+..........+(n+1)=1+2+3+...+n+(n+1)=n(n+1)2+(n+1)=(n+1)(n2+1)=(n+1)(n+2)2\begin{align*} &~~~~~1+2+3+..........+(n+1) \\ &=1+2+3+...+n+(n+1) \\ &=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1) \\ &=(n+1)(\frac{n}{2}+1) \\ &=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{align*}
    • Conclusion:
    ∀n≥1 ; 1+2+3+...+n=n(n+1)2\forall n\ge1~;~1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}

  • Initialisation pour n=1n=1

    (1+x)1=1+x≥1+1×x(1+x)^1=1+x\ge 1+1\times x

    et donc la proposition est vraie pour n=1n=1

  • Héridité: soit n∈N∗n\in\N^* supposons que

    (1+x)n≥1+nx(1+x)^n\ge 1+nx

    et montrons que

    (1+x)n+1≥1+(n+1)x(1+x)^{n+1}\ge 1+(n+1)x
    (1+x)n≥1+nx  ⟹  (1+x)n(1+x)≥(1+nx)(1+x)  ⟹  (1+x)n+1≥1+x+nx+nx2  ⟹  (1+x)n+1≥1+(n+1)x+nx2  ⟹  (1+x)n+1≥1+(n+1)x      car nx2≥0\begin{align*} &(1+x)^n\ge 1+nx \\ &\implies (1+x)^n(1+x)\ge (1+nx)(1+x) \\ &\implies (1+x)^{n+1}\ge 1+x+nx+nx^2 \\ &\implies (1+x)^{n+1}\ge 1+(n+1)x+nx^2 \\ &\implies (1+x)^{n+1}\ge 1+(n+1)x~~~~~ \text{ car } nx^2\ge0 \end{align*}

  • Conclusion:

∀n∈N∗  (1+x)n≥1+nx\forall n\in\N^*~~(1+x)^n\ge 1+nx