1. Soit $x \in \R$. Nous distinguons deux cas.

• Premier cas : $x \ge 1$

  Alors $|x-1|=x-1$.

  Calculons alors $x^2-x+1 - |x-1|$.

  $$\begin{align*} x^2-x+1 - |x-1| &= x^2-x+1 - (x-1) \\ &= x^2 -2x + 2 \\ &= (x-1)^2 + 1 \ge 0. \end{align*}$$

  Ainsi $x^2-x+1 - |x-1| \ge 0$ et donc $x^2-x+1 \ge |x-1|$.

• Deuxième cas : $x < 1$

  Alors $|x-1| = -(x-1)$.

  Nous obtenons

  $$\begin{align*} x^2-x+1 - |x-1|&= x^2-x+1 + (x-1) \\ &= x^2 \ge 0 \end{align*}$$

  Et donc $x^2-x+1 \ge |x-1|$.

• Conclusion : Dans tous les cas $|x-1| \le x^2-x+1$.

2. • Si $n$ est pair alors :
   $$\exists k\in\N~~:~~ n=2k$$ $$\frac{n(n+1)}{2}=\frac{2k(2k+1)}{2}=k(2k+1)$$

   avec $k(2k+1)\in\N$ et donc $\frac{n(n+1)}{2}\in\N$

   • Si $n$ est impair alors :
   $$\exists p\in\N~~:~~ n=2p+1$$ $$\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(2p+1)(2p+2)}{2}=(2p+1)(p+1)$$

   avec $(2p+1)(p+1)\in\N$ et donc $\frac{n(n+1)}{2}\in\N$

   Conclusion : $\forall n\in\N~:~\frac{n(n+1)}{2}\in\N$

3. Résoudre dans $\R$ l'équation : $x^2+|x-1|+3=0$

   • Si $x\le 1$ alors $x-1\le 0$

   et donc $|x-1|=-(x-1)=-x+1$

   $$\begin{align*} x\le1 ~;~x^2+|x-1|+3=0 &\iff x^2-x+1+3=0 \\ &\iff x^2-x+4=0 \end{align*}$$

   $\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times1\times4=-15<0$

   L'équation dans ce cas n'a pas de solution

   • Si $x\ge 1$ alors $x-1\ge 0$

   et donc $|x-1|=x-1$

   $$\begin{align*} x\ge1 ~;~x^2+|x-1|+3=0 &\iff x^2+x-1+3=0 \\ &\iff x^2+x+2=0 \end{align*}$$

   $\Delta=b^2-4ac=(1)^2-4\times1\times2=-7<0$

   L'équation dans ce cas n'a pas de solution

   Conclusion : L'équation n'a pas de solution

4. $~~~~x^2-4x+m+3=0$

   $$\begin{align*} \Delta=b^2-4ac&=(-4)^2-4\times1\times(m+3) \\ &=16-4m-12 \\ &=4-4m \\ &=4(1-m) \end{align*}$$
   • Si $m=1$ alors $\Delta=0$ et donc :
   $$x=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{2}=2$$

   est la solution de cette équation (avec m=1) donc :

   $$S_1=\{-2\}$$
   • Si $m>1$ alors $1-m<0$ et donc $\Delta <0$

   et donc si $m>1$ : l'équation n'a pas de solution

   $$S_2=\emptyset$$
   • Si $m<1$ alors $1-m>0$
   $$\begin{align*} x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&=\frac{4-\sqrt{4(1-m)}}{2}\\ &=\frac{4-2\sqrt{1-m}}{2} \\ &=2-\sqrt{1-m} \end{align*}$$ $$\begin{align*} x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}&=2+\sqrt{1-m} \end{align*}$$

   Alors :

   $$S_3=\{2+\sqrt{1-m};2-\sqrt{1-m} ~~/~~ m<1\}$$

Conclusion : l'ensemble des solution de l'équation est :