📝 Exercices de la série▼
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Exercice 12 (Devoir)

  1. Ecrire les phrases suivantes à l’aide des quantificateurs
  • "il existe au moins un entier naturel mm tel que pour tout xx de R\R on a m2+1=xm^2+1 =x"
  • "Pour tout réel xx, il existe un unique entier relatif pp tel que p≤x≤p+1p\le x\le p+1"
  • "f:R→Rf:\R\to\R ne s'annule pas dans R\R"

  1. Montrer que la proposition

    "∀x∈R∗   :   x2−x≥1""\forall x \in \R^* ~~~:~~~ x^2-x\ge 1"

    est fausse

  2. Résoudre dans R\R l'equation :

    x2−∣x−3∣−1=0x^2-|x-3|-1=0
    • Developper (x−2)2(\sqrt{x}-2)^2
    • Montrer que : ∀x∈R+ : x≠4  ⟹  x−1≠x2\forall x\in\R^+ ~:~x\ne4 \implies \sqrt{x}-1\ne \frac{x}{2}

  4. Soient xx et yy deux nombres réels, montrer que :

    x+y≥c  ⟹  2x≥c ou 2y≥cx+y\ge c\implies 2x\ge c~ou~2y\ge c

  5. Soit x∈Rx\in\R, Démontrer que

2<x<4  ⟺  13<1x−1<12<x<4 \iff \frac{1}{3}<\frac{1}{x-1}<1
  1. En utilisant le raisonnement par absurde. Montrer que
(∀n∈N) ; n+1n+2≠1(\forall n\in\N) ~;~\frac{n+1}{n+2}\ne1
  1. Montrer que (∀n∈N∗) ; 4n−1(\forall n\in\N^*)~;~4^n-1 est un multiple de 3
  2. Montrer que : (∀n∈N) :  1+3+32+33+...+3n=3n+1−12\left(\forall n\in\N\right)~:~~1+3+3^2+3^3+...+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}
---
  • (∃m∈R) (∀x∈R) : m2+1=x(\exists m\in\R)~(\forall x\in\R)~:~m^2+1= x
  • (∀x∈R) (∃!p∈Z) : p≤x≤p+1(\forall x\in\R)~(\exists!p\in\Z)~:~p\le x\le p+1
  • (∀x∈R) : f(x)≠0(\forall x\in\R)~:~f(x)\ne0

Autre réponse :

  • (∀x∈R) : f(x)>0 ou f(x)<0(\forall x\in\R)~:~f(x)>0 \text{ ou } f(x)<0
  1. Par exemple pour x=1x=1 on a 1∈R∗1\in\R^* mais 12−1=01^2-1=0 n'est pas supérieur ou égal à 1
  2. Résoudre dans R\R l'equation : x2−∣x−3∣−1=0x^2-|x-3|-1=0

  • Si x≥3x\ge3, alors : ∣x−3∣=x−3|x-3|=x-3

    Donc l'équation devient :

    x2−(x−3)−1=0x^2-(x-3)-1=0 x2−x+2=0x^2-x+2=0 Δ=b2−4ac=−7<0\Delta=b^2-4ac=-7<0

    Donc l'équation n'a pas de solution dans R\R

  • Si x≤3x\le3, alors : ∣x−3∣=−x+3|x-3|=-x+3

    Donc l'équation devient :

    x2+(x−3)−1=0x^2+(x-3)-1=0 x2+x−4=0x^2+x-4=0 Δ=b2−4ac=17>0\Delta=b^2-4ac=17>0

    Donc l'équation admet deux solutions distincts :

    x1=−b+Δ2a et x2=−b−Δ2ax_1=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\text{ et }x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a} x1=−1+172 et x2=−1−172x_1=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\text{ et }x_2=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}

    et donc l'ensemble des solutions de l'équation est

    S={−1−172 ; −1+172}S=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}\text{ ; }\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\right\}
  • (x−2)2=x−4x+4(\sqrt{x}-2)^2=x-4\sqrt x+4
  • Soit x∈R+x\in\R^+
x−1=x4  ⟹  4x−4=x  ⟹  x−4x+4=0  ⟹  (x−2)2=0  ⟹  x−2=0  ⟹  x=2  ⟹  x=4\begin{align*} \sqrt{x}-1= \frac{x}{4} & \implies 4\sqrt{x}-4= x \\ & \implies x-4\sqrt{x}+4=0 \\ & \implies (\sqrt{x}-2)^2=0 \\ & \implies \sqrt{x}-2=0\\ & \implies \sqrt{x}=2\\ &\implies x=4 \end{align*}
Notons : p :"x+y≥c"et : q :"2x≥c ou 2y≥c"\begin{align*} \text{Notons : } & p~:"x+y\ge c" \\ \text{et : } & q~:"2x\ge c \text{ ou } 2y\ge c" \end{align*}

Raisonnement par contraposé

Pour montrer que p  ⟹  qp\implies q

on montre que : qˉ  ⟹  pˉ\bar{q}\implies \bar{p}

qˉ  ⟹  2x<c et 2y<c  ⟹  2x+2y<c+c  ⟹  2(x+y)<2c  ⟹  x+y<c  ⟹  pˉ\begin{align*} \bar{q}&\implies 2x<c \text{ et } 2y<c \\ &\implies 2x+2y<c+c \\ &\implies 2(x+y)<2c \\ &\implies x+y<c \\ &\implies \bar{p} \end{align*}
2<x<4  ⟺  1<x−1<3  ⟺  13<1x−1<1\begin{align*} \color{myred} 2<x<4 &\color{myred}\iff 1<x-1<3 \\ &\color{myred}\iff \frac13<\frac1{x-1}<1 \end{align*}

  1. Suppposons que : ∃n∈N : n+1n+2=1\exists n\in\N~:~\frac{n+1}{n+2}=1

    Donc n+1=n+2n+1=n+2

    alors 1=21=2 absurde

    D'où (∀n∈N) ; n+1n+2≠1(\forall n\in\N) ~;~\frac{n+1}{n+2}\ne1

  2. L'initialisation : Pour n=1n=1 on a : 41−1=34^1-1=3 est un multiple de 3

    Donc la proposition est vraie pour n=1n=1

    L'hérédité : Soit n∈Nn\in\N, supposons que : 4n−14^n-1 est un multiple de 3

    et montrons que : 4n+1−14^{n+1}-1 est un multiple de 3

    On a : 4n−14^n-1 est un multiple de 3 donc :

    ∃k∈N : 4n−1=3k\exists k\in\N~:~4^n-1=3k 4n−1=3k  ⟹  4.4n−4=4.3k  ⟹  4n+1=4.3k+1  ⟹  4n+1−1=4.3k+4−1  ⟹  4n+1−1=3.(4k+1)\begin{align*} 4^n-1=3k &\implies 4.4^n-4=4.3k \\ &\implies 4^{n+1}=4.3k+1 \\ &\implies 4^{n+1}-1=4.3k+4-1 \\ &\implies 4^{n+1}-1=3.(4k+1) \end{align*}

    Donc 4n+1−14^{n+1}-1 est un multiple de 3

    Conclusion : D'aprés le principe de récurrence :

    (∀n∈N∗) ; 4n−1est un multiple de 3(\forall n\in\N^*)~;~4^n-1 \text{est un multiple de 3}

  3. Initialisation : pour n=0n=0 on a :

    10=1 et 30+1−12=22=11^0=1\text{ et } \dfrac{3^{0+1}-1}{2}=\dfrac22=1

    Donc :

    10=30+1−121^0=\dfrac{3^{0+1}-1}{2}

    Héridité : Soit n∈Nn\in\N, supposons que :

    1+3+32+33+...+3n=3n+1−121+3+3^2+3^3+...+3^n=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}

    et montrons que

    1+3+32+33+...+3n+1=3n+2−121+3+3^2+3^3+...+3^{n+1}=\dfrac{3^{n+2}-1}{2}

    on a

    1+3+32+...+3n+1=1+3+32+...+3n+3n+1=3n+1−12+3n+1=3n+1−1+2.3n+12=3n+1(1+2)−12=3n+2−12\begin{align*} \hspace*{-1cm}1+3+3^2+...+3^{n+1}&=1+3+3^2+...+3^n+3^{n+1} \\ &=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}+3^{n+1} \\ &=\dfrac{3^{n+1}-1+2.3^{n+1}}{2} \\ &=\dfrac{3^{n+1}(1+2)-1}{2} \\ &=\dfrac{3^{n+2}-1}{2} \end{align*}

    Conclusion : d'aprés le principe du récurrence :

    (∀n∈N) :  1+3+32+33+...+3n=3n+1−12\left(\forall n\in\N\right)~:~~1+3+3^2+3^3+...+3^n=\dfrac{3^{n+1}-1}{2}