📝 Exercices de la série▼
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Exercice 11

Soient a,b et c des nombres réels tels que :

(∀x∈R) : ∣ax2+bx+c∣≤1(\forall x\in\R)~:~|ax^2+bx+c|\le 1
  1. Montrer que ∣c∣≤1|c|\le1
  2. Montrer que −1≤a+c≤1-1\le a+c\le1
  3. En déduire que a2+b2+c2≤5a^2+b^2+c^2\le5

  1. On a : (∀x∈R) : ∣ax2+bx+c∣≤1(\forall x\in\R)~:~|ax^2+bx+c|\le 1

    Pour x=0x=0 on a : ∣c∣≤1|c|\le 1

  2. Pour x=1x=1 on : ∣a+b+c∣≤1|a+b+c|\le 1

    Pour x=−1x=-1 on : ∣a−b+c∣≤1|a-b+c|\le 1

    donc :

    −1≤a+b+c≤1−1≤a−b+c≤1\begin{align} -1\le a+b+c\le 1 \\ -1\le a-b+c\le 1 \end{align}

    (1)+(2)   ⟹  \implies

    −2≤2a+2c≤2−1≤a+c≤1\begin{align*} -2\le 2a+2c\le 2\\ -1\le a+c\le 1 \end{align*}

  3. on a ∣a+b+c∣≤1|a+b+c|\le 1 et ∣c∣≤1|c|\le 1 donc

    −1≤a+b+c≤1−1≤−c≤1\begin{align} -1\le a+b+c \le 1 \\ -1 \le -c \le 1 \end{align} (3)+(4)  ⟹  −2≤a+b≤2  ⟹  0≤(a+b)2≤4  ⟹  0≤a2+2ab+b2≤4      (∗)\begin{align*} (3)+(4) &\implies -2\le a+b \le 2 \\ &\implies 0\le (a+b)^2 \le 4 \\ &\implies 0\le a^2+2ab+b^2 \le 4 ~~~~~~ (*) \end{align*}

    on a ∣a−b+c∣≤1|a-b+c|\le 1 et ∣c∣≤1|c|\le 1

    donc

    −1≤a−b+c≤1−1≤−c≤1\begin{align} -1\le a-b+c \le 1 \\ -1 \le -c \le 1 \end{align} (5)+(6)  ⟹  −2≤a−b≤2  ⟹  0≤(a−b)2≤4  ⟹  0≤a2−2ab+b2≤4      (∗∗)\begin{align*} (5)+(6) &\implies -2\le a-b \le 2 \\ &\implies 0\le (a-b)^2 \le 4 \\ &\implies 0\le a^2-2ab+b^2 \le 4 ~~~~~~(**) \end{align*} (∗)+(∗∗)  ⟹  0≤2a2+2b2≤8  ⟹  0≤a2+b2≤4\begin{align*} (*)+(**) &\implies 0\le 2a^2+2b^2 \le 8 \\ &\implies 0\le a^2+b^2 \le 4 \\ \end{align*}

    et comme 0≤c2≤10\le c^2 \le 1

    Alors

    0≤a2+b2+c2≤50\le a^2+b^2 +c^2\le 5