📝 Exercices de la série▼
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Exercice 4

(Raisonnement direct, Contre-exemple)
  1. Soient a,b∈R+a,b \in \R_+. Montrer que si a≤ba \le b alors : a≤a+b2≤ba \le \frac{a+b}{2} \le b et a≤ab≤ba \le \sqrt{ab} \le b.
  2. Est-ce que pour tout x∈Rx\in \R on a x<2  ⟹  x2<4x<2 \implies x^2<4 ?
  3. Montrer que : n∈Nn\in \N est pair   ⟹  n2\implies n^2 est pair.

  1. on a :

    a≤b  ⟹  a+a≤a+b  ⟹  2a≤a+b  ⟹  a≤a+b2   (∗)\begin{align*} a \le b &\implies a +a \le a+b \\ &\implies 2a\le a+b \\ &\implies a\le \frac{a+b}{2} ~~~(*) \end{align*}

    et on a :

    a≤b  ⟹  a+b≤b+b  ⟹  a+b≤2b  ⟹  a+b2≤b   (∗∗)\begin{align*} a \le b &\implies a +b \le b+b \\ &\implies a+b\le 2b \\ &\implies \frac{a+b}{2} \le b ~~~(**) \end{align*}

    De (*) et (**) on déduit que :

    a≤b  ⟹  a≤a+b2≤ba \le b \implies a\le \frac{a+b}{2}\le b

    de me^\hat{e}me on a :

    a≤b  ⟹  a.b≤b.b   car  b∈R+  ⟹  ab≤b2  ⟹  ab≤b   (∗∗)\begin{align*} a \le b &\implies a.b \le b.b ~~~car~~b\in\R^+\\ &\implies ab\le b^2 \\ &\implies \sqrt{ab} \le b ~~~(**) \end{align*}

    et :

    a≤b  ⟹  a.a≤b.a   car  a∈R+  ⟹  a2≤ab  ⟹  a≤ab   (∗∗)\begin{align*} a \le b &\implies a.a \le b.a ~~~car~~a\in\R^+\\ &\implies a^2\le ab \\ &\implies a \le \sqrt{ab} ~~~(**) \end{align*}

    De (*) et (**) on déduit que :

    a≤b  ⟹  a≤ab≤ba \le b \implies a\le\sqrt{ab}\le b

    Conclusion : pour tout a,b∈R+ a,b\in\R^+~ on a :

     a≤b  ⟹  a≤a+b2≤b  et  a≤ab≤b~a \le b \implies a\le\frac{a+b}{2}\le b~~et~~a\le\sqrt{ab}\le b

  2. Non, si on prend x=−3x=-3

    on a : −3<2-3<2 mais (−3)2=9(-3)^2=9 n'est pas indérieur à 44

  3. Supposons que nn est pair et montrons que n2n^2 est pair

    On a nn est pair alors ∃p∈N\exists p\in\N tel que : n=2pn=2p

    Donc n2=(2p)2=4p2=2×2p2=2kn^2=(2p)^2=4p^2=2\times2p^2=2k avec k=2p2∈Nk=2p^2 \in\N

    et par suite n2n^2 est pair

    d'où : n∈Nn\in \N est pair   ⟹  n2\implies n^2 est pair.