Exercice 1

Soient $p$ et $q$ deux propositions.

1. Quand les propositions suivantes sont-ells vraies? $(p~et~q)$ ? $(p~ou~q)$ ? $(p\Rightarrow q)$ ? $(p\Leftrightarrow q)$ ?
2. Donner une proposition équivalente à la proposition :

$$\left[(q\Rightarrow p) ~et~(p\Rightarrow p)\right]$$

3. La proposition « $\overline{p\Rightarrow q}$ » est équivalente à la proposition

   • $\bar{p}$ et $q$
   • $p$ et $\bar{q}$
   • $\bar{p}$ ou $q$

4. La négation de la proposition « $p\Rightarrow q$ » est la proposition :

   • $\bar{p}$ et $q$
   • $p$ et $\bar{q}$
   • $\bar{p}$ ou $q$

5. Quel est le raisonnement qui convient pour montrer que pour tout $x~et~y\in\R$

$$\left(x\ne y ~et~x+y\ne 2 \right) \Rightarrow x^2-2x\ne y^2-2y$$

6. Quel est le raisonnement convenable pour montrer que :

$$\forall n \in \N ~;~ \left(\frac{5}{4}\right)^n \ge 1+\frac{1}{4}n$$