📝 Exercices de la série▼
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Exercice 3 (activité)

Soit (D)(D) la droite passant par les deux points A(1;−1)A(1;-1) et B(−2;1)B(-2;1)

et M(x;y)M(x;y) est un point de (D)(D) avec x,y∈Rx,y\in\R

  1. Déterminer les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB}
  2. Montrer que det⁡(AM→,AB→)=2x+3y+1\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=2x+3y+1
  3. En déduire que : 2x+3y+1=02x+3y+1=0

  1. AB→(xB−xA;yB−yA)\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A) donc AB→(−3;2)\overrightarrow{AB}(-3;2)

  2. On a AM→(xM−xA;yM−yA)\overrightarrow{AM}(x_M-x_A;y_M-y_A) donc AM→(x−1;y+1)\overrightarrow{AM}(x-1;y+1)

det⁡(AM→,AB→)=∣x−1−3y+12∣=2(x−1)−(−3)(y+1)=2x+3y+1\begin{align*} \det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}) &=\left|\begin{matrix} x-1 & -3 \\ y+1 & 2 \end{matrix}\right| \\ &=2(x-1)-(-3)(y+1) \\ &=2x+3y+1 \end{align*}

  1. On a les vecteurs AM→\overrightarrow{AM} et AB→\overrightarrow{AB} sont colinéaires car les points A,B et MA,B\text{ et }M sont alignés

    et donc det⁡(AM→,AB→)=0\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0

    d'où : 2+3y+1=02+3y+1=0

    l'équation 2x+3y+1=02x+3y+1=0 s'appelle l'équation cartésienne de la droite (D)(D)