• $2x^2+x-1<0$

Calculons les racines de l’équation $2x^2 + x - 1 = 0$

Donc, les racines sont $x_1 = \frac{1}{2}$ et $x_2 = -1$.

Le tableau de signes

les solutions de l’inéquation

Nous cherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles $2x^2 + x - 1 < 0$, donc dans l’intervalle où $2x^2 + x - 1$ est strictement négatif :

L’ensemble des solutions de l’inéquation est :

• $2x^2+x-1\ge0$

À partir du tableau de signes précédent, les solutions de l’inéquation $2x^2+x-1\ge0$ sont dans les intervalles où $2x^2+x-1$ est positif ou nul : Nous cherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles $2x^2 + x - 1 \geq 0$, donc dans l’intervalle où $2x^2 + x - 1$ est positif ou nul :

L’ensemble des solutions de l’inéquation est :

• $x^2+\sqrt2x+\frac12\le0$

Les coefficients de l’inéquation sont $a = 1$, $b = \sqrt{2}$, $c = \frac{1}{2}$.

Le discriminant

La racine :

on sait que : si $\Delta=0$ alors le signe de $ax^2+bx+c$ est le signe de $a$

pour $x^2+\sqrt2x+\frac12$ on a $a=1$ et $\Delta=0$

Donc le signe de $x^2+\sqrt2x+\frac12\ge0$

L’ensemble des solutions de l’inéquation $x^2+\sqrt2x+\frac12\le0$ est :

• $x^2+x+1\ge0$

$\Delta=b^2-3ac=1^2-4\times1\times1=-3$

Donc le signe de $x^2+x+1$ est le signe de $a=1$

et donc pour tout $x\in\mathbb{R}$ on a : $x^2+x+1>0$

L’ensemble des solutions de l’inéquation est :