تمارين - TCSF & TCTF

الجذع المشترك العلمي و التكنولوجي – خيار فرنسية

درس : Equations, inéquations et systèmes

Exercice 4

  1. Résoudre dans R\R, les équations
  • 2x2−x−1=02x^2-x-1=0
  • x2−3x+34=0x^2-\sqrt3x+\frac{3}{4}=0
  • −2x2+x−1=0-2x^2+x-1=0
  1. En déduire une factorisation des termes suivants :
  • A(x)=2x2−x−1A(x)=2x^2-x-1
  • B(x)=x2−3x+34B(x)=x^2-\sqrt3x+\frac{3}{4}
  • 2x2−x−1=02x^2-x-1=0

Ici, nous avons :

a=2,b=−1,c=−1a = 2, \quad b = -1, \quad c = -1

Le discriminant Δ\Delta est donné par la formule :

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

Calculons le discriminant :

Δ=(−1)2−4⋅2⋅(−1)=1+8=9\begin{align*} \Delta &= (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) \\ &= 1 + 8 \\ &= 9 \end{align*}

Puisque Δ>0\Delta > 0, l’équation a deux solutions réelles distinctes, données par :

x1=−b+Δ2a et x2=−b−Δ2ax_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \text{ et }x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

Substituons les valeurs de aa, bb, et Δ\Delta :

x1=−(−1)+92×2 et x2=−(−1)−92×2x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2\times2} \text{ et }x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2\times2}

Cela nous donne les solutions :

x1=1+34=1 et x2=1−34=−12x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \text{ et } x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}

Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 est :

S={1 , −12}\boxed{S=\left\{1 \text{ , } -\frac{1}{2}\right\}}
  • x2−3x+34=0x^2-\sqrt3x+\frac{3}{4}=0

Ici, nous avons :

a=1,b=−3,c=34a = 1, \quad b = -\sqrt{3}, \quad c = \frac{3}{4}
Δ=b2−4ac=(−3)2−4⋅1⋅34=3−3=0\begin{align*} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &=(-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{3}{4} \\ &= 3 - 3 \\ &= 0 \end{align*}

Puisque Δ=0\Delta = 0, l’équation a une solution réelle double, donnée par :

x=−b2a=−(−3)2⋅1=32x = \frac{-b}{2a}=\frac{-(-\sqrt{3})}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation x2−3x+34=0x^2 - \sqrt{3}x + \frac{3}{4} = 0 est :

S={32}\boxed{S=\left\{\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}}
  • −2x2+x−1=0-2x^2+x-1=0

Ici, nous avons :

a=−2,b=1,c=−1a = -2, \quad b = 1, \quad c = -1
Δ=b2−4ac=12−4⋅(−2)⋅(−1)=1−8=−7\begin{align*} \Delta &= b^2 - 4ac \\ &= 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-1) \\ &= 1 - 8 \\ &= -7 \end{align*}

Puisque Δ<0\Delta < 0, l’équation n’a pas de solution réelle.

Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation −2x2+x−1=0-2x^2+x-1=0 est :

S={ }\boxed{S=\left\{~\right\}}
A(x)=2x2−x−1=a(x−x1)(x−x2)=2(x−1)(x+12)\begin{align*} A(x) &=2x^2-x-1 \\ &=a(x-x_1)(x-x_2)\\ &=2\left(x-1\right)\left(x+\frac12\right)\\ \end{align*}
B(x)=x2−3x+34=a(x−x0)2=(x−32)2\begin{align*} B(x)&=x^2-\sqrt3x+\frac{3}{4}\\ &=a(x-x_0)^2\\ &=\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \end{align*}