تمارين - TCSF & TCTF

الجذع المشترك العلمي و التكنولوجي – خيار فرنسية

درس : Equations, inéquations et systèmes

Exercice 2

Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes :

  • 2x+1≥x+42x+1\ge x+4
  • 3x−1<5x−33x-1<5x-3
  • 2x−1≤2x+32x-1 \le 2x+3
  • 2x−12<x\frac{2x-1}{2}<x

\begin{itemize}

  • 2x+1≥x+42x+1\ge x+4
2x+1≥x+4  ⟺  2x−x≥4−1  ⟺  x≥3\begin{align*} 2x+1\ge x+4 & \iff 2x-x\ge 4-1 \\ &\iff x\ge 3 \end{align*}

L’ensemble des solutions de l’inéquation est :

S=[3,+∞[S=[3,+\infty[
  • 3x−1<5x−33x-1<5x-3
3x−1<5x−3  ⟺  3x−5x<−3+1  ⟺  −2x<−2  ⟺  2x>2  ⟺  x>1\begin{align*} 3x-1<5x-3 & \iff 3x-5x<-3+1 \\ & \iff -2x<-2 \\ & \iff 2x>2 \\ & \iff x>1 \end{align*}

L’ensemble des solutions de l’inéquation est :

S=]1,+∞[S=]1,+\infty[
  • 2x−1≤2x+32x-1 \le 2x+3
2x−1≤2x+3  ⟺  2x−2x≤3+1  ⟺  0≤4 impossible\begin{align*} 2x-1 \le 2x+3 &\iff 2x -2x \le 3+1 \\ &\iff 0 \le 4 \text{ impossible} \end{align*}

L’inéquation n’a pas de solution

Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation est :

S={ }S=\left\{~\right\}
  • 2x−12<x\frac{2x-1}{2}<x
2x−12<x  ⟺  2x−12<2x2  ⟺  2x−1<2x  ⟺  2x−2x<1  ⟺  0<1\begin{align*} \frac{2x-1}{2}<x &\iff \frac{2x-1}{2}<\frac{2x}{2} \\ & \iff 2x-1<2x\\ &\iff 2x-2x<1\\ &\iff 0<1 \end{align*}

Cette inégalité est toujours vraie pour tout xx réel.

Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation est :

S=RS=\mathbb{R}