📝 Exercices de la série▼
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Exercice 9

Soient aa et bb deux réels tels que : a≥12a\ge\frac12, b≤1b\le1 et a−b=3a-b=3

  1. Calculer : A=(2a−1)2+(2b−2)2A=\sqrt{(2a-1)^2}+\sqrt{(2b-2)^2}
  2. Montrer que : 12≤a≤4\frac12\le a\le4 et −52≤b≤1-\frac52 \le b\le 1
  3. Déterminer la valeur de BB telle que :
B=∣a+b−5∣+∣a+b+2∣B=|a+b-5|+|a+b+2|

  • on a : (2a−1)2=∣2a−1∣\sqrt{(2a-1)^2}=|2a-1|

    et comme a≥12a\ge\frac12, donc 2a−1≥02a-1\ge0,

    d'où : (2a−1)2=2a−1\sqrt{(2a-1)^2}=2a-1

  • on a : (2b−2)2=∣2b−2∣\sqrt{(2b-2)^2}=|2b-2|

    et comme b≤1b\le1, donc 2b−2≤02b-2\le0,

    d'où : (2b−2)2=−(2b−2)=−2b+2\sqrt{(2b-2)^2}=-(2b-2)=-2b+2

A=2a−1−2b+2=2(a−b)+1=2×3+1=7\begin{align*} A&=2a-1-2b+2 \\ &=2(a-b)+1 \\ &=2\times3+1 \\ &=7 \end{align*}

  1. On a : a−b=3a-b=3 donc a=b+3a=b+3 et b=a−3b=a-3

    comme a≥12a\ge\frac12 et b≤1b\le1

    donc : b+3≥12b+3\ge\frac12, a−3≤1a-3\le1

    signifie que b≥12−3b\ge\frac12-3, a≤1+3a\le1+3

    signifie que b≥−52b\ge-\frac52, a≤4a\le4

    et on a : a≥12a\ge\frac12 et b≤1b\le1

    D'où : 12≤a≤4\frac12\le a\le4 et −52≤b≤1-\frac52 \le b\le 1

  2. .

    on a : 12≤a≤4et : −52≤b≤1donc : 12−52≤a+b≤4+1Alors : −2≤a+b≤5\begin{align*} \text{on a : }&\frac12\le a\le4 \\ \text{et : } & -\frac52 \le b\le 1 \\ \text{donc : } & \frac12-\frac52\le a+b\le4+1 \\ \text{Alors : } & -2\le a+b\le5 \end{align*}

    Donc : a+b−5≤0a+b-5\le0 et a+b+2≥0a+b+2\ge0

    et donc : ∣a+b−5∣=−a−b+5|a+b-5|=-a-b+5

    et ∣a+b+2∣=a+b+2|a+b+2|=a+b+2

    Alors : B=−a−b+5+a+b+2=7B=-a-b+5+a+b+2=7