📝 Exercices de la série▼
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Exercice 7

Soit xx un élément de ]12,1[\left]\frac12, 1\right[, on pose A=xx+1A=\frac{x}{x+1}

  1. Déterminer un encadrement de x+1x+1, puis déduire un encadrement de AA en déterminant son amplitude
  2. Vérifier que : A=1−1x+1A=1-\frac{1}{x+1}
  3. Déterminer un encadrement de AA d'amplitude 16\frac16

  1. On a : x∈]12,1[x\in\left]\frac12, 1\right[,

    donc : 12<x<1\frac12<x<1, donc : 12+1<x+1<1+1\frac12+1<x+1<1+1

    D'où : 32<x+1<2\frac32<x+1<2

    Donc : 12<1x+1<23\frac12<\frac1{x+1}<\frac23

    et on a : 12<x<1\frac12<x<1

    Donc : 12×12<1x+1×x<23×1\frac12\times\frac12<\frac 1{x+1}\times x<\frac23\times1

    D'où : 14<A<23\frac14<A<\frac23

    est un encadrement de AA d'amplitude :

    23−14=512\frac23-\frac14=\frac{5}{12}
A=xx+1=x+1−1x+1=x+1x+1−1x+1=1−1x+1\begin{align*} A &=\frac{x}{x+1} \\ &=\frac{x+1-1}{x+1} \\ &=\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\\ &=1-\frac{1}{x+1} \end{align*}

  1. D'aprés la question {1.} on a : 12<1x+1<23\frac12<\frac1{x+1}<\frac23

    Donc : −23<−1x+1<−12-\frac23<-\frac1{x+1}<-\frac12

    1−23<1−1x+1<1−121-\frac23<1-\frac1{x+1}<1-\frac12

    D'où : 13<A<12\frac13<A<\frac12 est un encadrement de AA d'amplitude :

    12−13=16\frac12-\frac13=\frac16