📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9Exercice 10Exercice 11Exercice 12

Exercice 2

  1. Comparer 35\frac{3}{5} et 73\frac{7}{3}
  2. Comparer a=1+3a=1+\sqrt3 et b=2+5b=2+\sqrt5
  3. Soit n∈Nn\in\N, comparer
1(n+5)(n+1) et 1(n+4)(n+2)\dfrac{1}{(n+5)(n+1)} \text{ et } \dfrac{1}{(n+4)(n+2)}
  1. Soit x∈Rx\in\R avec x≥0x\ge0, comparer :
x+2+x+1 et x+x+1\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}\text{ et }\sqrt{x}+\sqrt{x+1}
  1. Soit n∈Nn\in\N, comparer :
a=4n2+1 et b=2n+1a=\sqrt{4n^2+1}\text{ et }b=2n+1

  1. On a : 35<1\frac{3}{5}<1 et 1<731<\frac{7}{3} donc : 35<73\frac{3}{5}<\frac{7}{3}

on a : 2>1et : 5>3alors : 2+5>1+3d’ouˋ : b>a\begin{align*} \text{on a : }&2> 1 \\ \text{et : }& \sqrt5> \sqrt3 \\ \text{alors : }& 2+\sqrt5> 1+\sqrt3 \\ \text{d'où : }& b>a \end{align*}
  1. on a
(n+5)(n+1)−(n+4)(n+2)    =n2+6n+5−n2−6n−8=−3<0\begin{align*} &(n+5)(n+1)-(n+4)(n+2)\\ &~~~~=n^2+6n+5-n^2-6n-8=-3<0 \end{align*}

donc (n+5)(n+1)<(n+4)(n+2)(n+5)(n+1)<(n+4)(n+2)

Alors 1(n+5)(n+1)>1(n+4)(n+2)\dfrac{1}{(n+5)(n+1)}> \dfrac{1}{(n+4)(n+2)}

  1. On a : 2≥02\ge0 donc x+2≥x+0x+2\ge x+0

    et donc x+2≥x\sqrt{x+2}\ge\sqrt{x}

D'où : x+2+x+1≥x+x+1\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}\ge\sqrt{x}+\sqrt{x+1}

a2−b2=4n2+12−(2n+1)2=4n2+1−4n2−4n−1=−4n\begin{align*} a^2-b^2 &=\sqrt{4n^2+1}^2-(2n+1)^2\\ &=4n^2+1-4n^2-4n-1\\ &=-4n \end{align*}

On a : n∈Nn\in\N donc n≥0n\ge0

et donc −4n≤0-4n\le0 signifie que a2≤b2a^2\le b^2

et comme aa et bb sont positifs, alors : a≤ba\le b