📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9Exercice 10Exercice 11Exercice 12

Exercice 10

Déterminer l’ensemble (sous forme d’intervalle) des réels xx vérifiant :

  •  ∣x−5∣≤3~|x-5| \le 3

  •  ∣2x+1∣≥2~|2x+1| \ge 2

  •  3≤∣x+1∣≤4~3\le|x+1|\le4

  •  ∣2x−4∣≤0~|2x-4|\le0

  • ∣x−5∣≤3|x-5| \le 3

En utilisant la propriété : \fbox{∣X∣≤r|X|\le r équivaut à −r≤X≤r-r\le X \le r}

∣x−5∣≤3  ⟺  −3≤x−5≤3  ⟺  −3+5≤x−5+5≤3+5  ⟺  2≤x≤8  ⟺  x∈[2,5]\begin{align*} |x-5| \le 3 &\iff -3\le x-5 \le 3 \\ & \iff -3+5\le x-5+5 \le 3+5 \\ & \iff 2\le x \le 8 \\ & \iff x\in[2,5] \end{align*}
  • ∣2x+1∣≥2|2x+1| \ge 2

En utilisant la propriété :

∣X∣≥r|X|\ge r équivaut à X≥r ou X≤−rX \ge r \text{ ou } X\le-r

∣2x+1∣≥2  ⟺  2x+1≥2 ou 2x+1≤−2  ⟺  2x≥2−1 ou 2x≤−2−1  ⟺  x≥12 ou x≤−32  ⟺  x∈[12;+∞[ ou x∈]−∞,−32]  ⟺  x∈]−∞,−32]∪[12;+∞[\begin{align*} &|2x+1| \ge 2 \\ &\iff 2x+1\ge2 \text{ ou } 2x+1\le-2 \\ &\iff 2x\ge2-1 \text{ ou } 2x\le-2-1 \\ &\iff x\ge\frac12 \text{ ou } x\le-\frac32 \\ &\iff x\in\left[\frac12;+\infty\right[ \text{ ou } x\in\left]-\infty,-\frac32\right] \\ & \iff x\in\left]-\infty,-\frac32\right]\cup\left[\frac12;+\infty\right[ \end{align*}
  • 3≤∣x+1∣≤43\le|x+1|\le4

En utilisant la propriété : ∣X∣=X ou ∣X∣=−X|X|=X \text{ ou } |X|=-X

3≤∣x+1∣≤4  ⟺  3≤x+1≤4 ou 3≤−(x+1)≤4  ⟺  3≤x+1≤4 ou −4≤x+1≤−3  ⟺  2≤x≤3 ou −5≤x≤−4  ⟺  x∈[2;3] ou x∈[−5,−4]  ⟺  x∈[2;3]∪[−5,−4]\begin{align*} &3\le|x+1|\le4 \\ &\iff 3\le x+1 \le 4 \text{ ou } 3\le-(x+1)\le4 \\ &\iff 3\le x+1\le 4 \text{ ou } -4\le x+1\le-3 \\ &\iff 2\le x\le 3 \text{ ou } -5\le x\le-4 \\ &\iff x\in\left[2;3\right] \text{ ou } x\in\left[-5,-4\right] \\ &\iff x\in\left[2;3\right] \cup\left[-5,-4\right] \end{align*}
  • ∣2x−4∣≤0|2x-4|\le0

on sait que la valeur absolue est positif

donc on a toujours: ∣2x−4∣≥0|2x-4|\ge0

∣2x−4∣≤0|2x-4|\le0 et ∣2x−4∣≥0|2x-4|\ge0 équivaut à 2x−4=02x-4=0 équivaut à x=2x=2