Exercice 6 On considère un point A et les vecteurs définis par : AB→=u⃗, AC→=u⃗+v⃗, AD→=u⃗−v⃗\overrightarrow{AB} = \vec{u} , ~~ \overrightarrow{AC} = \vec{u} + \vec{v} , ~~ \overrightarrow{AD} = \vec{u} - \vec{v}AB=u, AC=u+v, AD=u−v Montrer que BBB est le milieu de [CD][CD][CD]. Correction BC→=BA→+AC→=−AB→+AC→=−u⃗+u⃗+v⃗=v⃗\begin{align*} \overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} \\ & = -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \\ & = -\vec{u}+\vec{u} + \vec{v} \\ &= \vec{v} \end{align*}BC=BA+AC=−AB+AC=−u+u+v=v BD→=BA→+AD→=−AB→+AD→=−u⃗+u⃗−v⃗=−v⃗\begin{align*} \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} \\ & = -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \\ & = -\vec{u}+\vec{u} - \vec{v} \\ &= -\vec{v} \end{align*}BD=BA+AD=−AB+AD=−u+u−v=−v Donc BC→+BD→=v⃗−v⃗=0⃗\begin{align*} \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} = \vec{v}-\vec{v} = \vec{0} \end{align*}BC+BD=v−v=0 D’où, BBB est le milieu de [CD][CD][CD].