📝 Exercices de la série▼
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Exercice 3

  1. Simplifier les expressions vectorielles suivantes :
A⃗=2(u⃗+5v⃗)+3(u⃗−v⃗) ; B⃗=u⃗+7(2u⃗+v⃗)−2(u⃗−4v⃗)\begin{matrix} \vec{A}=2\left(\vec{u}+5\vec{v}\right)+3\left(\vec{u}-\vec{v}\right) \\~;~ \\ \vec{B}=\vec{u}+7\left(2\vec{u}+\vec{v}\right)-2\left(\vec{u}-4\vec{v}\right) \end{matrix}
  1. Soit xx un nombre réel et soit u⃗\vec{u} un vecteur non nul (u⃗≠0⃗)\left(\vec{u}\neq\vec{0}\right) ; tels que 2xu⃗−u⃗=0⃗2x\vec{u}-\vec{u}=\vec{0}

Déterminer la valeur de xx

A⃗=2(u⃗+5v⃗)+3(u⃗−v⃗)=2u⃗+2(5v⃗)+3u⃗−3v⃗=2u⃗+10v⃗+3u⃗−3v⃗=(2+3)u⃗+(10−3)v⃗=5u⃗+7v⃗\begin{align*} \vec{A} &= 2(\vec{u} + 5\vec{v}) + 3(\vec{u} - \vec{v}) \\ &= 2\vec{u} + 2(5\vec{v}) + 3\vec{u} - 3\vec{v} \\ &= 2\vec{u} + 10\vec{v} + 3\vec{u} - 3\vec{v} \\ &= (2+3)\vec{u} + (10-3)\vec{v} \\ &= {5}\vec{u} + 7\vec{v} \end{align*} B⃗=u⃗+7(2u⃗+v⃗)−2(u⃗−4v⃗)=u⃗+2(2u⃗)+7v⃗−2u⃗+2(4v⃗)=u⃗+4u⃗+7v⃗−2u⃗+8v⃗=(1+4−2)u⃗+(7+8)v⃗=3u⃗+15v⃗\begin{align*} \vec{B}&=\vec{u}+7\left(2\vec{u}+\vec{v}\right)-2\left(\vec{u}-4\vec{v}\right)\\ &=\vec{u}+2\left(2\vec{u}\right)+7\vec{v}-2\vec{u}+2(4\vec{v})\\ &=\vec{u}+4\vec{u}+7\vec{v}-2\vec{u}+8\vec{v}\\ &=({1}+{4}-{2})\vec{u}+(7+8)\vec{v}\\ &={3}\vec{u}+15\vec{v} \end{align*}
2xu⃗−u⃗=0⃗(2x−1)u⃗=0⃗(2x−1)=0 ou u⃗=0⃗(2x−1)=0         car  u⃗≠0⃗x=12\begin{align*} &2x\vec{u}-\vec{u}=\vec{0} \\ & (2x-1)\vec{u}=\vec{0} \\ &\left(2x-1\right)=0\ ou\ \vec{u}=\vec{0} \\ & \left(2x-1\right)=0 ~~~~~~~~ \text{ car } \ \vec{u}\neq\vec{0} \\ & x=\frac{1}{2} \end{align*}