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Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par :

f(x)=\frac{2x-5}{x-1}

et $(C_f)$ sa courbe représentatve dans un repère orthonotmé $(O,\vec{i},\vec{j})$

Déterminer $D_f$ le domaine de définition de la fonction $f$
écrire $f(x)$ sous la forme $f(x)=\beta+\dfrac{k}{x-\alpha}$
Dresser le tableau de variations de $f$
Déterminer la nature de $(C_f)$ et ses éléments caractéristiques
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère.
Construire la courbe $(C_f)$

Correction

$D_f=\R-\left\{1\right\}=]-\infty;1[\cup]1;+\infty[$
Forme réduite :
$f(x)-\frac ac=f(x)-\frac21 =\frac{2x-5}{x-1}-2 =\frac{-3}{x-1}$
Donc
$f(x)=2+\frac{-3}{x-1}~~~~~~~~~~;~~~x\ne1$
Tableau de variations : on a : $k=-3<0$ , donc :
$(C_f)$ est l'hyperbole de centre $\Omega\left(1;2\right)$ et d'asymptotes d'équations $x=1$ et $y=2$
Intersection de $(C_f)$ avec les axes du repère.
- Intersection avec l'axe des ordonnées (où $x = 0$ ) :
$f(0) = \frac{2 \cdot 0 - 5}{0 - 1} = \frac{-5}{-1} = 5$
Donc, l'intersection avec l'axe des ordonnées est le point $(0, 5)$ .
- Intersection avec l'axe des abscisses (où $y = 0$ ) :
$\frac{2x - 5}{x - 1} = 0 \implies 2x - 5 = 0 \implies x = \frac{5}{2}$
Donc, l'intersection avec l'axe des abscisses est le point $\left( \frac{5}{2}, 0 \right)$ .

Ainsi, les intersections de la courbe $C_f$ avec les axes du repère sont :
- $\star$ Avec l'axe des ordonnées : $A(0, 5)$
- $\star$ Avec l'axe des abscisses : $B\left( \frac{5}{2}, 0 \right)$
Construction de $(C_f)$
- Tableau de valeurs :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 2 & 3 & 4 \\ \hline f(x) & 3 & 3.5 & 5 & -1 & 0.5 & 1 \\ \hline \end{array}$
- Tracé de $(C_f$