📝 Exercices de la série▼
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Exercice 7

Soit ff la fonction défine par : f(x)=x2+1xf(x)=\frac{x^2+1}{x}

  1. Déterminer DfD_f le domaine de définition de la fonction ff
  2. Etudier la parité de ff
  • Soient x,y∈Dfx,y\in D_f, on pose T(x,y)=f(x)−f(y)x−yT(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} avec x≠yx\ne y
  1. Montrer que T(x,y)=xy−1xyT(x,y)=\frac{xy-1}{xy}
  2. Etudier les variations de ff sur les deux intervalles [1,+∞[[1,+\infty[ et ]0,1]]0,1]
  3. En déduire les variations de ff sur les deux intervalles ]−∞,−1]]-\infty,-1] et sur [−1,0[[-1,0[
  1. Domaine de définition :
Df={x∈R  ; x≠0}=R∗D_f=\{x\in\R~~;~x\ne0\}=\R^*

  1. R∗\R^* est centré en 00

    donc pour tout x∈R∗x\in\R^* on a : −x∈R∗-x\in\R^*

    f(−x)=(−x)2+1−x=−x2+1x=−f(x)\begin{align*} f(-x) &=\frac{(-x)^2+1}{-x} \\ &=-\frac{x^2+1}{x} \\ &=-f(x) \end{align*}

    Donc ff est impaire.

f(x)−f(y)=x2+1x−y2+1y=yx2+y−xy2−xxy=xy(x−y)−(x−y)xy=(x−y)(xy−1)xy\begin{align*} f(x)-f(y)&= \frac{x^2+1}{x}-\frac{y^2+1}{y} \\ &=\frac{yx^2+y-xy^2-x}{xy} \\ &=\frac{xy(x-y)-(x-y)}{xy} \\ &=\frac{(x-y)(xy-1)}{xy} \end{align*} T(x,y)=f(x)−f(y)x−y=(x−y)(xy−1)xyx−y=xy−1xy\begin{align*} T(x,y) &=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \\ &=\frac{\frac{(x-y)(xy-1)}{xy}}{x-y} \\ &=\frac{xy-1}{xy} \end{align*}
    • si x,y∈[1,+∞[x,y\in[1,+\infty[ alors xy>0xy>0 et xy≥1xy\ge1

    donc xy>0xy>0 et xy−1≥0xy-1\ge0

    donc T(x,y)≥0T(x,y)\ge0

    Alors ff est croissante sur [1,+∞[[1,+\infty[

    • si x,y∈]0,1]x,y\in]0,1] alors xy>0xy>0 et xy≤1xy\le1

    donc xy>0xy>0 et xy−1≤0xy-1\le0

    donc T(x,y)≤0T(x,y)\le0

    Alors ff est décroissante sur ]0,1]]0,1]

    • On a : ff est impaire et ff est croissante sur [1,+∞[[1,+\infty[

    Alors ff est décroissante sur ]−∞,−1]]-\infty,-1]

    • On a : ff est impaire et décroissante sur ]0,1]]0,1]

    Alors ff est croissante sur ]−1,0[]-1,0[