📝 Exercices de la série▼
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Exercice 8

Soit ff la fonction de la variable réelle xx définie sur R\R par :

f(x)=x2+2x−2f(x)=x^2+2x-2

et (Cf)(C_f) sa courbe représentatve dans un repère orthonotmé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})

  1. MMontrer que f(x)=(x+1)2−3f(x)=(x+1)^2-3
  2. Déterminer la nature de (Cf)(C_f) et ses éléments caractéristiques
  3. Dresser le tableau de variations de ff
  4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (Cf)(C_f) avec les axes du repère.
  5. Construire la courbe (Cf)(C_f)
f(x)=x2+2x−2=x2+2x+1−1−2=x2+2×x×1+12−3=(x+1)2−3\begin{align*} f(x) &=x^2+2x-2=x^2+2x+1-1-2 \\&=x^2+2\times x\times 1+1^2-3 \\&=(x+1)^2-3 \end{align*}
    • on a f(x)=(x+1)2−3f(x)=(x+1)^2-3, donc α=−1\alpha=-1 et β=−3\beta=-3
    • la courbe (Cf)(C_f) est un parabole de sommet S(−1,−3)S(-1,-3) et d'axe de symétrie d'équation x=−1x=-1
  2. On a d'aprés la question 1. : f(x)=(x−α)2+βf(x)=(x-\alpha)^2+\beta avec α=−1\alpha=-1 et β=−3\beta=-3 et on a : a=1>0a=1>0 donc : ff est décroissante sur ]−∞,α]]-\infty,\alpha] c-à-d ]−∞,−1]]-\infty,-1] et croissante sur [α,+∞[[\alpha,+\infty[ c-à-d [−1,+∞[[-1,+\infty[ donc :
f(x)x−∞+∞−1−3
    • avec l'axe des ordonnées (où x=0x = 0)
    f(0)=02+2.0−2=−2f(0)=0^2+2.0-2=-2

    Donc, l'intersection avec l'axe des ordonnées est le point (0,−2)(0, -2).

    • avec l'axe des abscisses (où y=f(x)=0y=f(x) = 0) :
    x2+2x−2=0x^2+2x-2=0 Δ=b2−4ac=22−4×1×(−2)=12\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times1\times(-2)=12 x1=−b+Δ2a    et    x2=−b−Δ2ax_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~~~\text{ et }~~~x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} x1=−2+122    et    x2=−2−122x_1=\frac{-2+\sqrt{12}}{2} ~~~\text{ et }~~~ x_2=\frac{-2-\sqrt{12}}{2} x1=−1+3    et    x2=−1−3x_1=-1+\sqrt3 ~~~\text{ et }~~~ x_2=-1-\sqrt3

    Ainsi, les intersections de la courbe CfC_f avec les axes du repère sont :

    ⋆\star Avec l'axe des ordonnées : A(0,−2)A(0, -2)

    ⋆\star Avec l'axe des abscisses : B(−1+3,0)B\left( -1+\sqrt3, 0 \right) et C(−1−3,0)C\left( -1-\sqrt3, 0 \right)

  2. Construire la courbe (Cf)(C_f)

  • Tableau de valeurs : x−4−3−2−1012f(x)61−2−3−216 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 6 & 1 & -2 & -3 & -2 & 1 & 6 \\ \hline \end{array}
  • Tracé de (Cf)(C_f)
O~i~j−5−4−3−2−12345−123578A²²S²B²C