📝 Exercices de la série▼
Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice 5Exercice 6Exercice 7Exercice 8Exercice 9

Exercice 4

étudier la parité de la fonction ff dans chaque cas :

  • f  :x↦x2+∣x∣f~~:x\mapsto x^2+|x|
  • f  :x↦x3−xf~~:x\mapsto x^3-x
  • f  :x↦4−x2f~~:x\mapsto \sqrt{4-x^2}
  • f  :x↦x2+x−2f~~:x\mapsto x^2+x-2
  • f:[1;5]→R  : x↦x2+1f:[1;5]\to \R~~ :~x\mapsto x^2+1
  • f  :x↦x2+∣x∣f~~:x\mapsto x^2+|x|
    • Df=RD_f=\R
    • pour tout x∈Rx\in\R on a : −x∈R-x\in\R
    f(−x)=(−x)2+∣x∣=x2+∣x∣=f(x)\begin{align*} f(-x)&=(-x)^2+|x| \\ &=x^2+|x|\\ &=f(x) \end{align*}

Donc ff est paire

  • f  :x↦x3−xf~~:x\mapsto x^3-x
    • Df=RD_f=\R
    • pour tout x∈Rx\in\R on a : −x∈R-x\in\R
    f(−x)=(−x)3−(−x)=−x3+x=−(x3−x)=−f(x)\begin{align*} f(-x)&=(-x)^3-(-x)\\ &=-x^3+x\\ &=-(x^3-x)\\ &=-f(x) \end{align*}

Donc ff est impaire

  • f  :x↦4−x2f~~:x\mapsto \sqrt{4-x^2}

    • Df={x∈R  ;x2−4≥0}D_f=\{x\in\R~~;x^2-4\ge0\}
    4−x2=0 si et seulement si (2−x)(2+x)=0 si et seulement si 2−x=0 ou 2+x=0 si et seulement si x=2 ou x=−2\begin{align*} &4-x^2=0 \\ &\text{ si et seulement si } (2-x)(2+x)=0 \\ &\text{ si et seulement si } 2-x=0 \text{ ou } 2+x=0 \\ &\text{ si et seulement si } x=2 \text{ ou } x=-2 \end{align*} x−∞−22∞4−x2−0+0−\begin{array}{c|} x & -\infty &-2 & & 2 & & \infty \\ \hline 4-x^2 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array} Df=[−2,2]D_f=[-2,2]
    • pour tout x∈[−2,2]x\in[-2,2] on −x∈[−2,2]-x\in[-2,2]

    (l'intervale est centré en 0)

    f(−x)=4−(−x)2=4−x2=f(x)\begin{align*} f(-x)&=\sqrt{4-(-x)^2} \\ &=\sqrt{4-x^2} \\ &=f(x) \end{align*}

Donc ff est paire

  • f  :x↦x2+x−2f~~:x\mapsto x^2+x-2

    • Df=RD_f=\R
    • on a f(1)=12+1−2=0f(1)=1^2+1-2=0 et f(−1)=(−1)2+(−1)−2=−2f(-1)=(-1)^2+(-1)-2=-2

    Donc f(−1)≠f(1)f(-1)\ne f(1) et f(−1)≠−f(1)f(-1) \ne -f(1)

    Alors : ff ni paire ni impaire

  • f:[1;5]→R  : x↦x2+1f:[1;5]\to \R~~ :~x\mapsto x^2+1

    on a Df=[1;5]D_f=[1;5]

    et [1;5][1;5] n'est pas centré en 00

    Donc : ff ni paire ni impaire