تمارين - TCSF & TCTF

الجذع المشترك العلمي و التكنولوجي – خيار فرنسية

درس : Généralités sur les fonctions numériques

Exercice 6

ff est une fonction définie sur [−3,4][-3,4] et (Cf)(C_f) sa courbe dans le repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O,\vec{i},\vec{j})

O ~ j ~ i − 3 − 2 − 1 2 3 4 − 2 − 1 2 ( C f )

  1. Calculer l’image de 33

  2. Calculer l’antécédent de 22

  3. Résoudre graphiuement :

    • f(x)=0f(x)=0
    • f(x)=−1f(x)=-1
    • f(x)≥1f(x)\ge1

  4. Dresser le tableau de variations de ff sur [−3,4][-3,4]

  5. Dresser le tableau de signes de f(x)f(x) sur [−3,4][-3,4]

  6. Déterminer la valeur minimale et la valeur maximale de ff sur [−3,4][-3,4]

  1. f(3)=1f(3)=1, donc l’image de 33 est 11

  2. f(0)=2f(0)=2, donc l’antécédent de 2 est 00

    • f(x)=0f(x)=0

    la courbe (Cf)(C_f) de la fonction ff coupe l’axe des abscises (la droite d’équation y=0y=0) en quatre points de coordonnées : (−2,0)(-2,0) ; (0,0)(0,0) ; (2,0)(2,0) ; (4,0)(4,0)

    Donc les solutions de l’équation f(x)=0f(x)=0 sont les abscisses des quatre points précédents qui sont : −2-2 ; 00 ; 22 et 44

    • f(x)=−1f(x)=-1

    La courbe (Cf)(C_f) coupe la droite d’équation y=−1y=-1 en deux points d’abscisses : −3-3 et 11

    Donc les solutions de l’équation f(x)=−1f(x)=-1 sont : −3-3 et 11

    • f(x)≥1f(x)\ge1

    la courbe de ff se située au dessus de la droite d’équation y=1y=1 sur l’intervalle : [−1,5;−0,5][-1,5 ;-0,5] et passe par le point (3,1)(3,1)

    Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation : f(x)≥1f(x)\ge1 est

    S=[−1,5;−0,5]∪{3}S=[-1,5 ;-0,5]\cup\{3\}

  4. Tableau de variations de ff sur [−3;4][-3;4]

  5. Tableau de signes de ff sur [−3;4][-3;4]

x−3−2024f(x)0−0+0−0−0\begin{array}{c|cc} x & -3 & & -2 & & 0 & & 2 & & 4 \\ \hline f(x) & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 0 & - & 0 \end{array}
    • la valeur minimale de ff sur [−3;4][-3;4] est f(−3)=f(1)=−1f(-3)=f(1)=-1
    • la valeur maximale de ff sur [−3;4][-3;4] est f(−1)=2f(-1)=2