• $f(x) = \sqrt{(x+1)(x-2)}$

  il faut s’assurer que l’expression sous la racine carrée soit positive ou nulle

  Pour que la fonction $f$ soit définie, il faut que :

  $$(x+1)(x-2) \geq 0$$

  Les points où l’expression $(x+1)(x-2)$ s’annule sont $x = -1$ et $x = 2$.

  Tableau de signes :

L’expression $(x+1)(x-2) \geq 0$ est vraie pour $x \in ]-\infty, -1] \cup [2, +\infty[$.

Donc, l’ensemble de définition de la fonction $f$ est :

• $g:x\mapsto \dfrac{3x-1}{x^2+x-2}$

  il faut s’assurer que le dénominateur ne soit pas nul, car une division par zéro n’est pas définie.

  $D_g=\left\{x\in\R~~;x^2+x-2\ne0\right\}$

  Si $x^2+x-2\ne 0$

  $$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times1\times(-2)=9$$
  $$\left\{ \begin{matrix} x_1=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=1 \\ x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=-2 \end{matrix} \right.$$
  $$\begin{align*} D_g&=\left\{x\in\R~~;x\ne 1 \text{ et } x\ne -2\right\} \\ &=\R-\{-2;1\} \end{align*}$$

• $h:x\mapsto \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}$

  $$D_h = \left\{x\in\R~~;\frac{x+1}{x-1}\ge0 \text{ et } x-1\ne 0\right\}$$
  $$\begin{array}{c|} x & -\infty &-1 & & 1 & & \infty \\ \hline x+1 & - & 0 & + & | & + & \\ \hline x-1 & - & | & - & 0 & + & \\ \hline \frac{x+1}{x-1} & + & 0 & - & || & + & \\ \hline \end{array}$$
  $$D_h = ]-\infty;-1]\cup]1;+\infty[$$

• $i:x\mapsto \sqrt{x^2+3x-4}$

  $$D_i=\left\{ x\in\R~~; x^2+3x-4\ge0 \right\}$$
  $$x^2+3x-4=0$$
  $$\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times1\times(-4)=25$$
  $$\left\{ \begin{matrix} x_1=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=1 \\ x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=-4 \end{matrix} \right.$$
  $$\begin{array}{c|} x & -\infty &-4 & & 1 & & \infty \\ \hline x^2+3x-4 & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \end{array}$$
  $$D_i=]-\infty;-4]\cup[1;+\infty[$$

• $j:x\mapsto \sqrt{|x^2+4x-7|}$

  $$D_j=\left\{ x\in\R~~; |x^2+4x-7|\ge0 \right\}$$

  or la valeur absolue est toujours positive

  donc pour tout $x\in\R$ on a : $|x^2+4x-7|\ge0$

  $$D_j=\R$$

• $k:x\mapsto \sqrt{-(x-1)^2}$

  $$D_k=\left\{ x\in\R~~; -(x-1)^2\ge0 \right\}$$

  Soit $x\in D_k$

  on a : $(x-1)^2\ge0$ donc $-(x-1)^2\le0$

  or $x\in D_k$ alors : $-(x-1)^2\ge0$

  donc : $-(x-1)^2\le0 \text{ et }-(x-1)^2\ge0$

  c-à-d : $-(x-1)^2=0$ donc $x=1$

  $$D_k=\{1\}$$