• $f~~:x\mapsto x^2+|x|$
  • $D_f=\R$
  • pour tout $x\in\R$ on a : $-x\in\R$
  $$\begin{align*} f(-x)&=(-x)^2+|x| \\ &=x^2+|x|\\ &=f(x) \end{align*}$$

Donc $f$ est paire

• $f~~:x\mapsto x^3-x$
  • $D_f=\R$
  • pour tout $x\in\R$ on a : $-x\in\R$
  $$\begin{align*} f(-x)&=(-x)^3-(-x)\\ &=-x^3+x\\ &=-(x^3-x)\\ &=-f(x) \end{align*}$$

Donc $f$ est impaire

• $f~~:x\mapsto \sqrt{4-x^2}$

  • $D_f=\{x\in\R~~;x^2-4\ge0\}$
  $$\begin{align*} &4-x^2=0 \\ &\text{ si et seulement si } (2-x)(2+x)=0 \\ &\text{ si et seulement si } 2-x=0 \text{ ou } 2+x=0 \\ &\text{ si et seulement si } x=2 \text{ ou } x=-2 \end{align*}$$
  $$\begin{array}{c|} x & -\infty &-2 & & 2 & & \infty \\ \hline 4-x^2 & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}$$
  $$D_f=[-2,2]$$
  • pour tout $x\in[-2,2]$ on $-x\in[-2,2]$

  (l’intervale est centré en 0)

  $$\begin{align*} f(-x)&=\sqrt{4-(-x)^2} \\ &=\sqrt{4-x^2} \\ &=f(x) \end{align*}$$

Donc $f$ est paire

• $f~~:x\mapsto x^2+x-2$

  • $D_f=\R$
  • on a $f(1)=1^2+1-2=0$ et $f(-1)=(-1)^2+(-1)-2=-2$

  Donc $f(-1)\ne f(1)$ et $f(-1) \ne -f(1)$

  Alors : $f$ ni paire ni impaire

• $f:[1;5]\to \R~~ :~x\mapsto x^2+1$

  on a $D_f=[1;5]$

  et $[1;5]$ n’est pas centré en $0$

  Donc : $f$ ni paire ni impaire