تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Fonctions Exponentielles

Exercice 9

On considère ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=x+ex−1ex+1f(x) = x + \frac{e^x - 1}{e^x + 1}

et (C)(C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}).

  1. Montrer que :

    ∀x∈R;f(−x)=−f(x)\forall x \in \mathbb{R} \quad ; \quad f(-x) = -f(x)

    puis en déduire que le point OO est centre de symétrie de la courbe (C)(C).

  2. Vérifier que :

    ∀x∈R;f(x)=x+1−2ex+1\forall x \in \mathbb{R} \quad ; \quad f(x) = x + 1 - \frac{2}{e^x + 1}

    (Il vaut mieux utiliser cette expression pour traiter les questions suivantes.)

  3. a) Vérifier que :

    ∀x∈R;f′(x)=1+2ex(ex+1)2\forall x \in \mathbb{R} \quad ; \quad f'(x) = 1 + \frac{2e^x}{(e^x+1)^2}

    puis vérifier que : f′(0)=32f'(0) = \frac{3}{2}

    b) Montrer que ff est croissante sur R\mathbb{R}.

    c) Montrer que y=32xy = \frac{3}{2}x est l’équation de la droite (T)(T), tangente à la courbe (C)(C) au point OO.

  4. a) Montrer que : lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

    b) Calculer : lim⁡x→+∞[f(x)−(x+1)]\lim\limits_{x \to +\infty} \left[f(x) - (x+1)\right]
    puis en déduire que la droite (D)(D) d’équation y=x+1y = x + 1 est une asymptote oblique à (C)(C) au voisinage de +∞+\infty.

    c) Montrer que la courbe (C)(C) se trouve en dessous de (D)(D).

  5. Tracer les deux droites (T)(T) et (D)(D) ainsi que la courbe (C)(C).

f(x)=x+ex−1ex+1 ; ∀x∈Rf(x)=x+\dfrac{e^x-1}{e^x+1} ~;~\forall x\in\R

1/

∙\bullet \quad on a ∀x∈R\forall x\in\R :

f(−x)=−x+e−x−1e−x+1=−x+ex(e−x−1)ex(e−x+1)=−x+1−ex1+ex=−x−ex−1ex+1=−f(x)\begin{align*} f(-x)&=-x+\dfrac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}\\ &=-x+\dfrac{e^x(e^{-x}-1)}{e^x(e^{-x}+1)}\\ &=-x+\dfrac{1-e^x}{1+e^x}\\ &=-x-\dfrac{e^x-1}{e^x+1} \\ &=-f(x) \end{align*}

∙\bullet \quad OO centre de symétrie de (C)(C) ?

d’aprés ce qui précéde, on a :

∀x∈R : −x∈R\forall x\in\R~:~-x\in\R

et f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)

donc ff est impaire, et par conséquence (C)(C) admet OO comme centre de symétrie.

2/ Vérifions que : (∀x∈R): f(x)=x+1−2ex+1(\forall x\in\R) :~f(x)=x+1-\dfrac{2}{e^x+1}

1re méthode (∀x∈R)(\forall x\in\R)

x+1−2ex+1=x+ex+1−2ex+1=x+ex−1ex+1=f(x)\begin{align*} x+1-\dfrac{2}{e^x+1}&=x+\dfrac{e^x+1-2}{e^x+1}\\ &=x+\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\\ &=f(x) \end{align*}

2ème méthode (∀x∈R)(\forall x\in\R)

f(x)=−x+ex−1ex+1=−x+ex(e−x−1)ex(e−x+1)=x+(ex+1)−2ex+1=x+ex+1ex+1+−2ex+1=x+1−2ex+1\begin{align*} f(x)&=-x+\dfrac{e^x-1}{e^x+1}\\ &=-x+\dfrac{e^x(e^{-x}-1)}{e^x(e^{-x}+1)}\\ &=x+\dfrac{(e^x+1)-2}{e^x+1}\\ &=x+\dfrac{e^x+1}{e^x+1}+\dfrac{-2}{e^x+1}\\ &=x+1-\dfrac{2}{e^x+1} \end{align*}

3/a/ f′(x)=?\quad f'(x)=?

ff est dérivable sur R\R par somme; et quotient; et on a :

(∀x∈R)(\forall x\in\R)

f(x)=(x+1−2ex+1)′=1−−2(ex+1)′(ex+1)2=1+2ex(ex+1)2\begin{align*} f(x)&=\left(x+1-\dfrac{2}{e^x+1}\right)' \\ &=1-\dfrac{-2(e^x+1)'}{(e^x+1)^2}\\ &=1+\dfrac{2e^x}{(e^x+1)^2} \end{align*}

b/ f ↗f~\nearrow sur R\R ?

on a (∀x∈R) ; f′(x)=1+2ex(ex+1)2(\forall x\in\R)~;~f'(x)=1+\dfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}

donc f′(x)>0f'(x)>0 car ex>0e^x>0 et (ex+1)2>0(e^x+1)^2>0

donc ff croissante sur R\R

c/ Equation la tangente (T)(T) en OO

y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'(0)(x-0)+f(0)
f(0)=0 et f′(0)=32f(0)=0 \quad \text{ et } f'(0)=\dfrac32

donc

(T): y=32(T):~y=\dfrac32

4/a/

lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x+1−2ex+1=+∞\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) &=\lim\limits_{x\to+\infty}x+1-\dfrac{2}{e^x+1}\\ &=+\infty \end{align*}

car :

  • lim⁡x→+∞(x+1)=lim⁡x→+∞x=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty
  • lim⁡x→+∞ex=+∞  ⟹  lim⁡x→+∞2ex+1=0\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty\implies \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{e^x+1}=0

b/

lim⁡x→+∞f(x)−(x+1)=lim⁡x→+∞−2ex+1=0\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)-(x+1) &=\lim\limits_{x\to+\infty}-\dfrac{2}{e^x+1}\\ &=0 \end{align*}

Donc la droite d’équation (D) : y=x+1(D)~:~y=x+1 est une asymptote oblique à (C)(C) au V+∞\mathcal{V}_{+\infty}

c/ (C)(C) en dessous de (D)(D) ?

(∀x∈R)(\forall x\in\R)

f(x)−y=f(x)−(x+1)=−2ex+1<0f(x)-y=f(x)-(x+1)=-\dfrac{2}{e^x+1}<0

car −2<0-2<0 et e+1>0e^+1>0

Alors (C)(C) en dessous de (D)(D) sur R\R

5/ Tracé de (T)(T) , (D)(D) et (C)(C)

on trace la courbe sur [0,+∞[[0,+\infty[, puis on la complète , par symétrie par rapport à OO

⃗i⃗j(Cf)•(D):y=x+1