1/ $\quad D_g=?$

La fonction $f$ est une somme de fonctions exponentielles, donc $f$ est définie sur tout $\mathbb{R}$ :

Limites aux bornes de $\mathbb{R}$ :

• Lorsque $x \to -\infty$ :

  $$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 1$$

  car $\lim\limits_{x\to-\infty} e^{x} = 0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} e^{2x} = 0$

• Lorsque $x \to +\infty$ :

  $$\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty} f(x) &=\lim\limits_{x\to+\infty} 2e^{2x}-3e^x+1 \\ &=\lim\limits_{x\to+\infty} e^x(2e^x-3)+1\\ &=+\infty \end{align*}$$

  car $\lim\limits_{x\to+\infty} e^{x} = +\infty$

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2/ variations de $f$ ?

Calcul de la dérivée $f'(x)$ :

$f$ est dérivable sur $\R$

Donc :

on sait que : $e^x>0$ pour tout $\in\R$

Donc le signe de $f'(x)$ est le signe de $4e^x-3$

$\begin{aligned} \bullet\quad 4e^x-3=0 &\iff e^x=\dfrac34\\&\iff x=\ln\dfrac34 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \bullet\quad x\le\ln\dfrac34 &\implies e^x\le \dfrac34\\ &\implies 4e^x-3\le0\\ &\implies f'(x)\le0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \bullet\quad x\ge\ln\dfrac34 &\implies f'(x)\ge0 \end{aligned}$

et donc :

• $f$ est décroissante sur $\left]-\infty,\ln\left(\frac{3}{4}\right)\right]$
• $f$ est croissante sur $\left[\ln\left(\frac{3}{4}\right),+\infty\right[$

Tableau de variations

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3/ Intersection avec l’axe des abscisses

Cherchons les $x$ tels que $f(x)=0$ :

Posons $u=e^x>0$.
On obtient :

Résolvons :

Donc :

La courbe coupe les axes du repère en :

• $A(-\ln2~;~0)$
• et $O(0~;~0)$

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4/ Équation de la tangente à $(C_f)$ au point d’abscisse $0$

$y=f'(0)(x-0)+f(0)=1(x-0)+0=x$

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5/ Étude des branches infinies

Rappel :

• $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 1$
• $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$

Donc :

$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 1$ donc la courbe admet une asymptote horizontale d’équation $y=1$ au $\mathcal{V}_{-\infty}$

on $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$

donc on calcule $\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$

car

• $\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=+\infty$
• et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
• et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$

on a :

• $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$
• et $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}=+\infty$

Donc la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au $\mathcal{V}_{+\infty}$

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6/ Tracé de $(C_f)$

Résumé pour le tracé :

• Domaine : $\mathbb{R}$.
• Limites :
  • $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 1$ asymptoe horizontale d’équ $y=1$ au $\mathcal{V}_{-\infty}$
  • la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au $\mathcal{V}_{+\infty}$
• Variations :
  • $f$ décroît sur $\left]-\infty, \ln\left(\frac{3}{4}\right)\right]$, atteint un minimum $-\frac{1}{8}=-0.125$.
  • $f$ croît sur $\left[\ln\left(\frac{3}{4}\right),+\infty\right[$.
• Zéros :
  • $x=-\ln2 \approx -0.693$
  • $x=0$
• Tangente au point $(0;0)$ : droite d’équation $y=x$.
• Asymptote horizontale à gauche : $y=1$.

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