Fonctions Exponentielles

تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

2^x=3\ \ \ \ ;;;\ \ \ {16}^x-5\times4^x+6=0

5^x<10\ \ \ ;;;\ \ \ \ 9^x>3^{-x+1}

4^x-3\times2^x+2\geq0

Correction

1/ Dans chaque cas $S$ est l’ensemble des solutions

$(E_1)~:~2^x=3$

\begin{aligned} 2^x &= 3 \\ \ln(2^x) &= \ln(3) \\ x\ln(2) &= \ln(3) \\ x &= \dfrac{\ln(3)}{\ln(2)} \end{aligned}

Donc :

\boxed{S = \left\{ \dfrac{\ln(3)}{\ln(2)} \right\}}

$(E₂) ~:~16^x-5\times4^x+6=0$

On remarque que $16=4^2$ , donc :

16^x = (4^2)^x = 4^{2x}

Ainsi, l’équation devient :

4^{2x} - 5\times4^x + 6 = 0

Posons $X=4^x$ . Alors :

X^2 - 5X + 6 = 0

Calcul du discriminant :

\Delta = (-5)^2 - 4\times6 = 25-24 = 1

Les solutions sont :

\begin{aligned} X_1 &= \dfrac{5-1}{2} = 2 \\ X_2 &= \dfrac{5+1}{2} = 3 \end{aligned}

On résout :

\begin{aligned} \ln(4^x) &= \ln(2) \\ x\ln(4) &= \ln(2) \\ x &= \dfrac{\ln(2)}{\ln(4)} \end{aligned}

Or $\ln(4)=2\ln(2)$ , donc :

x = \dfrac{1}{2}

\begin{aligned} \ln(4^x) &= \ln(3) \\ x\ln(4) &= \ln(3) \\ x &= \dfrac{\ln(3)}{\ln(4)} \end{aligned}

Donc :

\boxed{S = \left\{ \dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\ln(3)}{\ln(4)} \right\}}

2/ $S$ est l’ensemble de solutions dans chaque c

$(I₁)~ : ~5^x < 10$

la fonction $x\mapsto\ln x$ est croissante sur $]0;+\infty[$ donc elle conserve l’ordre

\begin{aligned} 5^x &< 10 \\ \ln(5^x) &< \ln(10) \\ x\ln(5) &< \ln(10) \\ x &< \dfrac{\ln(10)}{\ln(5)} \end{aligned}

Donc :

\boxed{S = \left]-\infty\ ;\ \dfrac{\ln(10)}{\ln(5)}\right[}

$(I₂)~:~9^x > 3^{-x+1}$

On a $9=3^2$ :

9^x = 3^{2x}

Ainsi :

3^{2x} > 3^{-x+1}

Rappel

Si $a>1$ alors $a^x \le a^y \implies x\le y$

Si $0<a<1$ alors $a^x\le a^y \implies x\ge y$

Les bases étant les mêmes ( $>1$ ), on compare les exposants :

\begin{aligned} 2x &> -x+1 \\ 3x &> 1 \\ x &> \dfrac{1}{3} \end{aligned}

Donc :

\boxed{S = \left]\dfrac{1}{3}\ ;\ +\infty\right[}

$(I₃)~:~4^x-3\times2^x+2\geq0$

On écrit :

4^x = (2^2)^x = 2^{2x}

L’inéquation devient :

2^{2x} - 3\times2^x + 2 \geq 0

Posons $X=2^x$ (avec $X>0$ ) :

X^2 - 3X + 2 \geq 0

\Delta = 1

Les racines sont :

\begin{aligned} X_1 &= 1 \\ X_2 &= 2 \end{aligned}

On a $X=2^x >0$

\begin{array}{c|ccccc} x & \hspace{-.5cm} 0 & 1 & & 2 & +\infty \\\hline X^2-3X+2 & \hspace{.5cm}+ & 0 & - & 0 & + \end{array}

\begin{aligned} X^2 - 3X + 2 \geq 0 \iff 0<X\le 1 \text{ ou } X\ge2 \end{aligned}

\begin{aligned} X\le1 &\iff \ln(2^x) \leq \ln(1) \\ &\iff x\ln2 \leq 0 \\ &\iff x \leq 0 \quad\text{ car } \ln2>0\\ \end{aligned}

\begin{aligned} X\ge2 &\iff\ln(2^x) \geq \ln(2) \\ &\iff x\ln(2) \geq \ln(2) \\ &\iff x \geq 1 \end{aligned}

Donc

\boxed{S = ]-\infty,0[\cup\left[1\ ;\ +\infty\right[}