تمارين - 2BACSEF

التانية باكالوريا العلوم التجريبية – خيار فرنسي

درس : Fonctions Exponentielles

Exercice 4

Calculer la dérivée de la fonction ff dans les cas suivants :

f(x)=2x−ex\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right) = \mathbf{2x} - \mathbf{e}^\mathbf{x}
f(x)=xex2−1\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right) = \mathbf{x}\mathbf{e}^{\mathbf{x}^\mathbf{2}-\mathbf{1}}
f(x)=(x−1)e−1x\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right) = \left(\mathbf{x}-\mathbf{1}\right)\mathbf{e}^{-\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}}

1/ f(x)=2x−ex\quad f(x) = 2x - e^x

On a :

  • (2x)′=2(2x)' = 2
  • (ex)′=ex(e^x)' = e^x

Donc :

f′(x)=2−exf'(x) = 2 - e^x

2/ f(x)=xex2−1\quad f(x) = x e^{x^2-1}

C’est un produit, donc :

(fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'

avec :

  • f(x)=xf(x) = x, donc f′(x)=1f'(x) = 1
  • g(x)=ex2−1g(x) = e^{x^2-1}, donc g′(x)=(x2−1)′×ex2−1=2ex2−1g'(x) = (x^2-1)'\times e^{x^2-1}=2e^{x^2-1}

Ainsi :

f′(x)=1×ex2−1+x×(2xex2−1)=ex2−1+2x2ex2−1=(1+2x2)ex2−1\begin{align*} f'(x) &= 1 \times e^{x^2-1} + x \times \left(2x e^{x^2-1}\right) \\ &= e^{x^2-1} + 2x^2 e^{x^2-1} \\ &= (1+2x^2)e^{x^2-1} \end{align*}

3/ f(x)=(x−1)e−1x\quad f(x) = (x-1)e^{-\frac{1}{x}}

C’est encore un produit :

  • f(x)=(x−1)f(x) = (x-1), donc f′(x)=1f'(x) = 1
  • g(x)=e−1xg(x) = e^{-\frac{1}{x}}, donc g′(x)=e−1x×(1x2)g'(x) = e^{-\frac{1}{x}} \times \left(\frac{1}{x^2}\right) (attention au moins : dérivée de −1x-\frac{1}{x} est 1x2\frac{1}{x^2})

Donc :

f′(x)=1×e−1x+(x−1)×e−1x×1x2=e−1x(1+x−1x2)\begin{align*} f'(x) &= 1 \times e^{-\frac{1}{x}} + (x-1) \times e^{-\frac{1}{x}} \times \frac{1}{x^2} \\ &= e^{-\frac{1}{x}}\left(1+\frac{x-1}{x^2}\right) \end{align*}
1+x−1x2=x2+x−1x21+\frac{x-1}{x^2} = \frac{x^2+x-1}{x^2}

Finalement :

f′(x)=x2+x−1x2e−1xf'(x) = \frac{x^2+x-1}{x^2}e^{-\frac{1}{x}}