Exercice 7

Partie 1 : Soit la fonction $g$ définie par :

$$g(x) = (x-2)e^{-x} - 1 \quad ; \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

1. a) Montrer que : $\forall x\in\mathbb{R} \quad ; \quad g'(x) = (3-x)e^{-x}$
   b) Étudier le sens de variation de $g$ (dresser le tableau de variation de $g$).

2. Déduire que : $\forall x\in\mathbb{R} \quad ; \quad g(x) < 0$

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Partie 2 : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x) = (x-1)e^{-x} + x$$

et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

1. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$, puis étudier la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$.

2. Montrer que : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (f(x) - x) = 0$, puis interpréter géométriquement ce résultat.

3. a) Montrer que : $\forall x\in\mathbb{R} \quad ; \quad f'(x) = -g(x)$
   b) Dresser le tableau de variation de $f$.

4. a) Étudier la position relative de $(C_f)$ et de la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x$.
   b) Vérifier que le point $I$ d'abscisse $3$ est un point d'inflexion de $(C_f)$.
   c) Tracer dans le même repère $(\Delta)$ et $(C_f)$.
   (Remarquer que $f(0) = -1$ et $f(3) \approx 3{,}1$.)

5. a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
   b) Tracer dans le même repère $(C_{f^{-1}})$.
   c) Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $-1$, et calculer $(f^{-1})'(-1)$.