1/ $\quad f(x) = 2x - e^x$

On a :

• $(2x)' = 2$
• $(e^x)' = e^x$

Donc :

$$f'(x) = 2 - e^x$$

---

2/ $\quad f(x) = x e^{x^2-1}$

C'est un produit, donc :

$$(fg)' = f'g + fg'$$

avec :

• $f(x) = x$, donc $f'(x) = 1$
• $g(x) = e^{x^2-1}$, donc $g'(x) = (x^2-1)'\times e^{x^2-1}=2e^{x^2-1}$

Ainsi :

$$\begin{align*} f'(x) &= 1 \times e^{x^2-1} + x \times \left(2x e^{x^2-1}\right) \\ &= e^{x^2-1} + 2x^2 e^{x^2-1} \\ &= (1+2x^2)e^{x^2-1} \end{align*}$$

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3/ $\quad f(x) = (x-1)e^{-\frac{1}{x}}$

C'est encore un produit :

• $f(x) = (x-1)$, donc $f'(x) = 1$
• $g(x) = e^{-\frac{1}{x}}$, donc $g'(x) = e^{-\frac{1}{x}} \times \left(\frac{1}{x^2}\right)$ (attention au moins : dérivée de $-\frac{1}{x}$ est $\frac{1}{x^2}$)

Donc :

$$\begin{align*} f'(x) &= 1 \times e^{-\frac{1}{x}} + (x-1) \times e^{-\frac{1}{x}} \times \frac{1}{x^2} \\ &= e^{-\frac{1}{x}}\left(1+\frac{x-1}{x^2}\right) \end{align*}$$ $$1+\frac{x-1}{x^2} = \frac{x^2+x-1}{x^2}$$

Finalement :

$$f'(x) = \frac{x^2+x-1}{x^2}e^{-\frac{1}{x}}$$