1/

$$\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{e^x}{x}$$

• Lorsque $x\to-\infty$, on sait que $e^x\to 0^+$ (tend vers 0 en restant positif).
• $x\to-\infty$.
• Donc, $\dfrac{e^x}{x}$ tend vers $\dfrac{0^+}{-\infty} = 0$.

Conclusion :

$$\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{e^x}{x}=0$$

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2/

$$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{x}{e^x}=\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}=0$$

car $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}= +\infty$.

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3/

$$\begin{align*} \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{e^{3x}}{x} &=\lim\limits_{x\to+\infty} 3\dfrac{e^{3x}}{3x} \\&=3\lim\limits_{t\to+\infty} \dfrac{e^{t}}{t} \\&=+\infty \end{align*}$$

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4/

$$\lim\limits_{x\to-\infty} (x-1)e^x= \lim\limits_{x\to-\infty} xe^x-e^x=0$$

car $\lim\limits_{x\to-\infty} xe^x=0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} e^x=0$ (voir cours).

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5/

$$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{e^x-1}{x^2} =\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^2}-\dfrac1{x^2}=+\infty$$

car $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^2}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac1{x^2}=0$

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6/

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^{-x}-1}{x} =\lim\limits_{x\to 0}-\dfrac{e^{-x}-1}{-x}$$

on pose $t=-x$ donc $x\to0 \implies t\to0$

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^{-x}-1}{x} =\lim\limits_{t\to 0}-\dfrac{e^{t}-1}{t}=-1$$

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7/

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^{3x}-1}{2x}= \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^{3x}-1}{3x}\times\dfrac{3}{2}$$

on pose $t=3x$ donc $x\to0 \implies t\to0$

$$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^{3x}-1}{2x}= \lim\limits_{t\to 0} \dfrac{e^{t}-1}{t}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac32$$

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8/

$$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{2e^x-1}{e^x+1}$$

• Divisons numérateur et dénominateur par $e^x$ :

$$\dfrac{2e^x-1}{e^x+1} = \dfrac{2-\dfrac{1}{e^x}}{1+\dfrac{1}{e^x}}$$

• Lorsque $x\to+\infty$, $\dfrac{1}{e^x}\to 0$.

Donc :

$$\dfrac{2-0}{1+0}=2$$

Conclusion :

$$\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{2e^x-1}{e^x+1}=2$$