1/ Soit l'ensemble des solutions dans chaque cas.

• $(E_1)~:~\mathbf{e^{(x^2+2-3)}}=1$

  $\begin{aligned} (E_1) &\iff e^{(x^2+2-3)}=e^0 \\ &\iff x^2-2x-3=0 \end{aligned}$

  $\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-3)=16$

  $x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{2-4}2=-1\\ x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{2+4}{2}=3$

  $$S=\left\{-1;3\right\}$$

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• $(E_2)~:~\mathbf{e}^\mathbf{x}+\mathbf{e}^{-\mathbf{x}}=\mathbf{2}$

  on sait que : $(\forall x\in\R)~:~e^x>0$

  $$\begin{align*} (E_2) &\iff e^x(e^x+e^{-x})=2e^x\\ &\iff e^{2x}-2e^x+1=0 \\ &\iff (e^x-1)^2=0\\ &\iff e^x-1=0 \\ &\iff e^x=1=e^0\\ &\iff x=0 \end{align*}$$ $$S=\left\{0\right\}$$

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• $(E_3)~:~\mathbf{2}\mathbf{e}^{\mathbf{2x}}-\mathbf{5}\mathbf{e}^\mathbf{x}+\mathbf{2}=\mathbf{0}$

  on pose $e^x=X$

  l'équation devient : $2X^2-5X+2=0$

  $$\Delta=25-16=9$$ $$\begin{align*} &X_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5-3}{4}=\dfrac12 \\~\\ &X_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5+3}{4}=2 \end{align*}$$

  et donc :

  $$\begin{align*} (E_3)&\iff e^x=\dfrac12\text{ ou }e^x=2\\ &\iff x=\ln\dfrac12\text{ ou }x=\ln2 \\ &\iff x=-\ln2\text{ ou }x=\ln2 \end{align*}$$ $$S=\left\{-\ln2~;~\ln2\right\}$$

• $(E_4)~:~\mathbf{e}^{2x+1}=\dfrac{1}{\mathbf{e}^x}$

$$\begin{aligned} (E_4) &\iff e^{2x+1}=e^{-x} \\ &\iff e^{3x+1}=1 \\ &\iff 3x+1=0 \\ &\iff x=-\dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ $$S=\left\{-\dfrac{1}{3}\right\}$$

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• $(E_5)~:~\dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-3}}=e$

$$\begin{aligned} (E_5) &\iff e^{(2x+1)-(x-3)}=e^1 \\ &\iff e^{x+4}=e^1 \\ &\iff x+4=1 \\ &\iff x=-3 \end{aligned}$$ $$S=\{-3\}$$

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2/

• $(I_1)~:~e^{1-x} \le e^{3x}$

$$\begin{aligned} (I_1) &\iff 1-x\le3x \\ &\iff 1\le4x \\ &\iff x\ge\dfrac{1}{4} \end{aligned}$$ $$S=\left[\dfrac{1}{4},+\infty\right[$$

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• $(I_2)~:~1-e^{-x}<0$

$$\begin{aligned} (I_2) &\iff 1<e^{-x} \\ &\iff \ln(1)<-x \\ &\iff 0<-x \\ &\iff x<0 \end{aligned}$$ $$S=\left]-\infty,0\right[$$

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• $(I_3)~:~\dfrac{2e^x-3}{e^x-2}<0$

  Posons $X=e^x>0$. Alors :

  $$\dfrac{2X-3}{X-2}<0$$

  Les racines sont $X=\dfrac{3}{2}$ et $X=2$.

$$\begin{array}{c|ccccc} X & -\infty & \frac32 & & 2 & +\infty \\\hline 2X-3 & \hspace{.3cm} - & 0 & + & | &\hspace{-.3cm} + \\\hline X-2 & \hspace{.3cm} - & | & - & 0 &\hspace{-.3cm} + \\\hline \dfrac{2X-3}{X-2} & \hspace{.3cm} + & 0 & - & || &\hspace{-.3cm} + \\\hline \end{array}$$

Le signe du quotient est négatif sur :

$$\left]\dfrac{3}{2},2\right[$$

Ainsi :

$$\dfrac{3}{2}<e^x<2$$

et comme la fonction $x\mapsto\ln x$ est croissante :

$$\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)<x<\ln2$$

Donc :

$$S=\left]\ln\left(\dfrac{3}{2}\right),\ln2\right[$$

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• $(I_4)~:~e^{2x}-5e^x+6>0$

Posons $X=e^x>0$.

$$X^2-5X+6>0$$

Résolvons $X^2-5X+6=0$ :

$$\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=1$$ $$\begin{aligned} X_1 &= 2 \\ X_2 &= 3 \end{aligned}$$ $$\begin{array}{c|ccccc} X & -\infty & 2 & & 3 & +\infty \\\hline X^2-5X+6 & \hspace{.3cm} + & 0 & - & 0 &\hspace{-.3cm} + \\\hline \end{array}$$

Donc :

$$X^2-5X+6>0 \iff X<2 \text{ ou } X>3$$

Comme $X=e^x>0$, alors :

• $e^x<2$ ou $e^x>3$

Ce qui donne :

$$x<\ln2\quad\text{ou}\quad x>\ln3$$

Finalement :

$$S=\left]-\infty,\ln2\right[\cup\left]\ln3,+\infty\right[$$