Exercice 10

Partie 1 : soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = 1 + x - e^x$

1. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
2. En déduire que : $g(x) \leq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

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Partie 2 : soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = -e^{2x} + 2x e^x + 1$ et $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité : 1 cm).

1. Montrer que $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 1$, puis interpréter géométriquement ce résultat.

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2. a) Vérifier que : $f(x) = xe^x\left( -\frac{e^x}{x} + 2 \right) + 1$

   b) Montrer que : $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty \quad \text{et} \quad \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty$

   c) En déduire que la courbe $(C)$ admet une branche parabolique au voisinage de $+\infty$, en précisant sa direction.

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3. a) Montrer que :

   $$f'(x) = 2g(x)e^x \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$$

   b) En déduire que la fonction $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.

   c) Calculer $f'(0)$ puis interpréter le résultat.

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4. Construire la courbe $(C)$

5. Résoudre graphiquement l'inéquation : $e^{2x} \leq 2x e^x + 1$