📝 Exercices de la série▼
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Exercice 9

Soient A,B et C trois points d’affixes respectivement : a=2+2i3a=2+2i\sqrt{3} et b=−4+4i3b=-4+4i\sqrt{3} et c=−1+i3c=-1+i\sqrt{3}

  1. Déterminer l'argument de b−ca−c\dfrac{b-c}{a-c}
  2. Déduire que (AC)⊥(BC)(AC)\perp (BC)

1/

b−ca−c=−4+4i3+1−i32+2i3+1−i3=−3+3i33+i3=(−3+3i3)(3−i3)(3+i3)(3−i3)=−9+3i3+9i3+932+32=i3\begin{align*} \dfrac{b-c}{a-c}&= \dfrac{-4+4i\sqrt{3}+1-i\sqrt{3}}{2+2i\sqrt{3}+1-i\sqrt{3}} \\ &=\dfrac{-3+3i\sqrt{3}}{3+i\sqrt{3}} \\ &=\dfrac{(-3+3i\sqrt{3})(3-i\sqrt{3})}{(3+i\sqrt{3})(3-i\sqrt{3})} \\ &=\dfrac{-9+3i\sqrt{3}+9i\sqrt{3}+9}{3^2+\sqrt{3}^2} \\ &=i\sqrt{3} \end{align*}

Donc : arg⁡(b−ca−c)≡π2  [2π]\arg(\dfrac{b-c}{a-c})\equiv \dfrac{\pi}{2} ~~[2\pi]

2/ (AC)⊥(BC)\quad (AC)\perp (BC) ?

(CA→,CB→^)≡arg⁡(b−ca−c)  [2π](\widehat{\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}}) \equiv \arg(\dfrac{b-c}{a-c}) ~~[2\pi] (CA→,CB→^)≡π2  [2π](\widehat{\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}}) \equiv \dfrac{\pi}{2} ~~[2\pi]

Donc (AC)⊥(BC)(AC)\perp (BC)