📝 Exercices de la série▼
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Exercice 12

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

  1. Soit zz un nombre complexe non nul de forme algèbrique :

    z=x+iy   ou   (x,y)∈R2−{(0;0)}z=x+iy ~~~ ou ~~~ (x,y)\in\R^2-\{(0;0)\}

    On pose Z=izzˉZ=\dfrac{iz}{\bar{z}}

    a. Ecrire ZZ sous forme algèbrique.

    b. En déduire les parties réelles et imaginaires de ZZ

  2. Déterminer (Γ)(\Gamma) l'ensemble des points M(z)M(z) dans le plan complexe tel que : ∣izˉ−1+i∣=2|i\bar{z}-1+i|=2

1/a/ ZZ sous forme algébrique ?

on a :

  • z=x+iyz = x + iy
  • zˉ=x−iy\bar{z} = x - iy

et on a

iz=i(x+iy)=ix+i2y=−y+ixiz = i(x + iy) = ix + i^2y = -y + ix

Donc :

Z=izzˉ=−y+ixx−iy=(−y+ix)(x+iy)(x−iy)(x+iy)=−xy−y2x2+y2+i⋅x2−xyx2+y2\begin{align*} Z &= \frac{iz}{\bar{z}} = \frac{-y + ix}{x - iy}\\ &=\frac{(-y + ix)(x + iy)}{(x - iy)(x + iy)}\\ &= \frac{-xy - y^2}{x^2 + y^2} + i \cdot \frac{x^2 - xy}{x^2 + y^2} \end{align*}

b/ Parties réelle et imaginaire de ZZ ?

  • Partie réelle :

    ℜ(Z)=−xy−y2x2+y2\Re(Z) = \frac{-xy - y^2}{x^2 + y^2}

  • Partie imaginaire :

    ℑ(Z)=x2−xyx2+y2\Im(Z) = \frac{x^2 - xy}{x^2 + y^2}

2/ Déterminer l'ensemble (Γ)(\Gamma) des points M(z)M(z) tels que :

∣izˉ−1+i∣=2|i\bar{z} - 1 + i| = 2

On pose z=x+iyz = x + iy donc zˉ=x−iy\bar{z} = x - iy.

Calcul de izˉi\bar{z} :

izˉ=i(x−iy)=ix+y=y+ixi\bar{z} = i(x - iy) = ix + y = y + ix

Alors :

izˉ−1+i=y+ix−1+i=(y−1)+i(x+1)i\bar{z} - 1 + i = y + ix - 1 + i = (y - 1) + i(x + 1)

On a donc :

∣izˉ−1+i∣=(y−1)2+(x+1)2=2|i\bar{z} - 1 + i| = \sqrt{(y - 1)^2 + (x + 1)^2} = 2

On élève au carré :

(x+1)2+(y−1)2=4(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 4

Conclusion : (Γ)(\Gamma) est le cercle d’équation :

(x+1)2+(y−1)2=4(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 4

C’est un cercle de centre (−1,1)(-1, 1) et de rayon 22.

Autre méthode

M(z)∈(Γ)  ⟺  ∣izˉ−1+i∣=2  ⟺  ∣i(zˉ+−1+ii)∣=2  ⟺  ∣i∣.∣zˉ+i(−1+i)i2∣=2  ⟺  ∣zˉ+1+i∣=2  ⟺  ∣zˉ+1+i‾∣=2  ⟺  ∣z+1−i∣=2  ⟺  ∣z−(−1+i)∣=2  ⟺  MA=2\begin{align*} M(z)\in (\Gamma) &\iff |i\bar{z} - 1 + i|=2\\ &\iff \left|i\left(\bar{z}+\dfrac{-1+i}{i}\right)\right|=2 \\ &\iff |i|.\left|\bar{z}+\dfrac{i(-1+i)}{i^2}\right|=2 \\ &\iff \left|\bar{z}+1+i\right|=2 \\ &\iff \left|\overline{\bar{z}+1+i}\right|=2 \\ &\iff \left|z+1-i\right|=2 \\ &\iff \left|z-(-1+i)\right|=2 \\ &\iff MA=2 \end{align*}

avec A(−1+i)A(-1+i) et donc :

(Γ)(\Gamma) est un cercle de centre AA et de rayon 22